終位相、像位相、商位相、直和位相
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/06/04 05:30 UTC 版)
「位相空間」の記事における「終位相、像位相、商位相、直和位相」の解説
まず始位相と双対的に終位相を定義する： 定義 (終位相) ― Xを集合とし、 { ( Y λ , O λ ) } λ ∈ Λ {\displaystyle \{(Y_{\lambda },{\mathcal {O}}_{\lambda })\}_{\lambda \in \Lambda }} を位相空間の族とし、写像 f λ : Y λ → X {\displaystyle f_{\lambda }~:~Y_{\lambda }\to X} の族 ( f λ ) λ ∈ Λ {\displaystyle (f_{\lambda })_{\lambda \in \Lambda }} を考える。 このとき、全ての ( f λ ) λ ∈ Λ {\displaystyle (f_{\lambda })_{\lambda \in \Lambda }} を連続にする最強の位相をXの ( f λ ) λ ∈ Λ {\displaystyle (f_{\lambda })_{\lambda \in \Lambda }} 終位相（英語版）という。 終位相の特殊な場合として下記のものを定義できる。これらは逆像位相、部分位相、始位相、直積位相と双対的に定義したものである。以下でXは集合である： 名称定義像位相 位相空間 ( Y , O ) {\displaystyle (Y,{\mathcal {O}})} と写像 f : Y → X {\displaystyle f~:~Y\to X} がXに定める終位相の事。 商位相 ( Y , O ) {\displaystyle (Y,{\mathcal {O}})} を位相空間とし、「 ∼ {\displaystyle \sim } 」をY上の同値関係とし、[x]でこの同値関係におけるx ∈ Yの同値類を表すとき、商写像 π : Y → Y / ∼ , x ↦ [ x ] {\displaystyle \pi \colon Y\to Y/{\sim },\;x\mapsto [x]} が商集合 X = Y / ∼ {\displaystyle X=Y/{\sim }} に定義する像位相の事。 直和位相 { ( X λ , O λ ) } λ ∈ Λ {\displaystyle \{(X_{\lambda },{\mathcal {O}}_{\lambda })\}_{\lambda \in \Lambda }} を位相空間の族とするとき、 X λ {\displaystyle X_{\lambda }} から集合族 { X τ } τ ∈ Λ {\displaystyle \{X_{\tau }\}_{\tau \in \Lambda }} の直和への包含写像 ι λ : X λ ↪ ∐ τ ∈ Λ X τ {\displaystyle \iota _{\lambda }\colon X_{\lambda }\hookrightarrow \coprod _{\tau \in \Lambda }X_{\tau }} の族 { ι λ } λ ∈ Λ {\displaystyle \{\iota _{\lambda }\}_{\lambda \in \Lambda }} によって直和 ∐ λ ∈ Λ X λ {\displaystyle \coprod _{\lambda \in \Lambda }X_{\lambda }} に定義される終位相の事。 これらはより具体的に書き表す事が可能である： 定理 ― 上の定義と同様に記号を定義するとき、 像位相の開集合系は f ∗ ( O ) := { U ⊂ Y ∣ f − 1 ( U ) ∈ O } {\displaystyle f_{*}({\mathcal {O}}):=\{U\subset Y\mid f^{-1}(U)\in {\mathcal {O}}\}} に一致する。 商位相の開集合系は、 π ∗ ( O ) := { U ⊂ Y ∣ π − 1 ( U ) ∈ O } {\displaystyle \pi _{*}({\mathcal {O}}):=\{U\subset Y\mid \pi ^{-1}(U)\in {\mathcal {O}}\}} に一致する。 直和位相の開集合系は、 { ⋃ λ ∈ Λ O λ | ∀ λ ∈ Λ : O λ ∈ O λ } {\displaystyle {\Bigg \{}\bigcup _{\lambda \in \Lambda }O_{\lambda }{\Bigg |}\forall \lambda \in \Lambda ~:~O_{\lambda }\in {\mathcal {O}}_{\lambda }{\Bigg \}}} に一致する。
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