移動する物体の例
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/04/09 07:28 UTC 版)
「状態空間 (制御理論)」の記事における「移動する物体の例」の解説
古典的な線形システムとして、一次元の移動する物体を考える。壁にバネで繋がれた物体が水平な平面上を移動する場合、ニュートン力学では次の式で表される。 m y ¨ ( t ) = u ( t ) − k 1 y ˙ ( t ) − k 2 y ( t ) {\displaystyle m{\ddot {y}}(t)=u(t)-k_{1}{\dot {y}}(t)-k_{2}y(t)} ここで y ( t ) {\displaystyle y(t)} は位置、 y ˙ ( t ) {\displaystyle {\dot {y}}(t)} は速度、 y ¨ ( t ) {\displaystyle {\ddot {y}}(t)} は加速度である。 u ( t ) {\displaystyle u(t)} は加えられた力である。 k 1 {\displaystyle k_{1}} は粘性摩擦係数である。 k 2 {\displaystyle k_{2}} はバネ定数である。 m {\displaystyle m} は物体の質量である。 この場合の状態方程式は次のようになる。 [ x 1 ˙ ( t ) x 2 ˙ ( t ) ] = [ 0 1 − k 2 m − k 1 m ] [ x 1 ( t ) x 2 ( t ) ] + [ 0 1 m ] u ( t ) {\displaystyle \left[{\begin{matrix}\mathbf {\dot {x_{1}}} (t)\\\mathbf {\dot {x_{2}}} (t)\end{matrix}}\right]=\left[{\begin{matrix}0&1\\-{\frac {k_{2}}{m}}&-{\frac {k_{1}}{m}}\end{matrix}}\right]\left[{\begin{matrix}\mathbf {x_{1}} (t)\\\mathbf {x_{2}} (t)\end{matrix}}\right]+\left[{\begin{matrix}0\\{\frac {1}{m}}\end{matrix}}\right]\mathbf {u} (t)} y ( t ) = [ 1 0 ] [ x 1 ( t ) x 2 ( t ) ] {\displaystyle \mathbf {y} (t)=\left[{\begin{matrix}1&0\end{matrix}}\right]\left[{\begin{matrix}\mathbf {x_{1}} (t)\\\mathbf {x_{2}} (t)\end{matrix}}\right]} ここで、 x 1 ( t ) {\displaystyle x_{1}(t)} は物体の位置を表す。 x 2 ( t ) := x 1 ˙ ( t ) {\displaystyle x_{2}(t):={\dot {x_{1}}}(t)} は物体の速度を表す。 x 2 ˙ ( t ) = x 1 ¨ ( t ) {\displaystyle {\dot {x_{2}}}(t)={\ddot {x_{1}}}(t)} は物体の加速度を表す。 出力 y ( t ) {\displaystyle \mathbf {y} (t)} は物体の位置である。 可制御性を評価すると、次のようになる。 [ B A B ] = [ [ 0 1 m ] [ 0 1 − k 2 m − k 1 m ] [ 0 1 m ] ] = [ 0 1 m 1 m k 1 m 2 ] {\displaystyle \left[{\begin{matrix}B&AB\end{matrix}}\right]=\left[{\begin{matrix}\left[{\begin{matrix}0\\{\frac {1}{m}}\end{matrix}}\right]&\left[{\begin{matrix}0&1\\-{\frac {k_{2}}{m}}&-{\frac {k_{1}}{m}}\end{matrix}}\right]\left[{\begin{matrix}0\\{\frac {1}{m}}\end{matrix}}\right]\end{matrix}}\right]=\left[{\begin{matrix}0&{\frac {1}{m}}\\{\frac {1}{m}}&{\frac {k_{1}}{m^{2}}}\end{matrix}}\right]} したがって、 k 1 {\displaystyle k_{1}} についても m {\displaystyle m} についてもフルランクである。 可観測性を評価すると、次のようになる。 [ C C A ] = [ [ 1 0 ] [ 1 0 ] [ 0 1 − k 2 m − k 1 m ] ] = [ 1 0 0 1 ] {\displaystyle \left[{\begin{matrix}C\\CA\end{matrix}}\right]=\left[{\begin{matrix}\left[{\begin{matrix}1&0\end{matrix}}\right]\\\left[{\begin{matrix}1&0\end{matrix}}\right]\left[{\begin{matrix}0&1\\-{\frac {k_{2}}{m}}&-{\frac {k_{1}}{m}}\end{matrix}}\right]\end{matrix}}\right]=\left[{\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}}\right]} したがって、フルランクである。以上から、このシステムは制御可能で、かつ観測可能である。
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