磁荷密度の導入
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/06/06 01:28 UTC 版)
空間内の領域 Ω {\displaystyle \Omega } に物質が置かれ、前記物質が、定常な（つまり時刻tに依存しない）磁化 M ( r ) {\displaystyle \mathbf {M} (\mathbf {r} )} を帯びているとする。 先に定義した、（磁化による）磁場 H M ( r ) = 1 4 π ∫ s ∈ Ω grad r [ < M ( s ) | ( r − s ) > | r − s | 3 ] d 3 s {\displaystyle \mathbf {H} _{M}(\mathbf {r} )={\frac {1}{4\pi }}{\int }_{\mathbf {s} \in \Omega }\operatorname {grad} _{\mathbf {r} }\left[{\frac {<\mathbf {M} (\mathbf {s} )|(\mathbf {r} -\mathbf {s} )>}{{|\mathbf {r} -\mathbf {s} |}^{3}}}\right]\ {d}^{3}{s}} （2-3-1） の原因が、磁荷であると考えた場合に、それは、どのようなものであるのかを検討しよう。 ベクトル解析の公式より、 div s [ M ( s ) | r − s | ] = ⟨ grad s [ 1 | r − s | ] | M ( s ) ⟩ + div s [ M ] | r − s | = ⟨ r − s | r − s | 3 | M ( s ) ⟩ + div s [ M ] | r − s | = < M ( s ) | ( r − s ) > | r − s | 3 + div s [ M ] | r − s | (2-3-2) {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {div} _{s}\left[{\frac {\mathbf {M} (\mathbf {s} )}{|\mathbf {r} -\mathbf {s} |}}\right]&=\left\langle \operatorname {grad} _{\mathbf {s} }\left[{\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {s} |}}\right]\left|\right.\mathbf {M} (\mathbf {s} )\right\rangle +{\frac {\operatorname {div} _{\mathbf {s} }[\mathbf {M} ]}{|\mathbf {r} -\mathbf {s} |}}\\&=\left\langle {\frac {\mathbf {r} -\mathbf {s} }{|\mathbf {r} -\mathbf {s} |^{3}}}\left|\right.\mathbf {M} (\mathbf {s} )\right\rangle +{\frac {\operatorname {div} _{\mathbf {s} }[\mathbf {M} ]}{|\mathbf {r} -\mathbf {s} |}}\\&={\frac {<\mathbf {M} (\mathbf {s} )|(\mathbf {r} -\mathbf {s} )>}{{|\mathbf {r} -\mathbf {s} |}^{3}}}+{\frac {\operatorname {div} _{\mathbf {s} }[\mathbf {M} ]}{|\mathbf {r} -\mathbf {s} |}}\qquad {\text{(2-3-2)}}\end{aligned}}} 従って、 < M ( s ) | ( r − s ) > | r − s | 3 = div s [ M ( s ) | r − s | ] − div s [ M ] | r − s | {\displaystyle {\frac {<\mathbf {M} (\mathbf {s} )|(\mathbf {r} -\mathbf {s} )>}{{|\mathbf {r} -\mathbf {s} |}^{3}}}=\operatorname {div} _{s}\left[{\frac {\mathbf {M} (\mathbf {s} )}{|\mathbf {r} -\mathbf {s} |}}\right]-{\frac {\operatorname {div} _{\mathbf {s} }[\mathbf {M} ]}{|\mathbf {r} -\mathbf {s} |}}} （2-3-3） 今、スカラー値関数 ϕ M {\displaystyle {\phi }_{M}} を、 ϕ M ( r ) := − ∫ s ∈ Ω < M ( s ) | ( r − s ) > | r − s | 3 d 3 Ω {\displaystyle {\phi }_{M}(\mathbf {r} ):=-{\int }_{\mathbf {s} \in \Omega }{\frac {<\mathbf {M} (\mathbf {s} )|(\mathbf {r} -\mathbf {s} )>}{{|\mathbf {r} -\mathbf {s} |}^{3}}}\ {d}^{3}\Omega } （2-3-4） と定める（磁化が定める磁位、あるいは、磁化が定めるスカラーポテンシャルと言う）と、 ϕ M ( r ) = − ∫ s ∈ Ω div s [ M ( s ) | r − s | ] d 3 Ω + ∫ s ∈ Ω div s [ M ] | r − s | d 3 Ω {\displaystyle {\phi }_{M}(\mathbf {r} )=-{\int }_{\mathbf {s} \in \Omega }\operatorname {div} _{s}\left[{\frac {\mathbf {M} (\mathbf {s} )}{|\mathbf {r} -\mathbf {s} |}}\right]\ {d}^{3}\Omega +{\int }_{\mathbf {s} \in \Omega }{\frac {\operatorname {div} _{\mathbf {s} }[\mathbf {M} ]}{|\mathbf {r} -\mathbf {s} |}}\ {d}^{3}\Omega } （2-3-5） 右辺第一項に、ガウスの発散定理を適用すると、 ∫ s ∈ Ω div s [ M ( s ) | r − s | ] d 3 Ω = ∫ s ∈ ∂ Ω M ( s ) | r − s | d 2 ( ∂ Ω ) {\displaystyle {\int }_{\mathbf {s} \in \Omega }\operatorname {div} _{s}\left[{\frac {\mathbf {M} (\mathbf {s} )}{|\mathbf {r} -\mathbf {s} |}}\right]\ {d}^{3}\Omega ={\int }_{\mathbf {s} \in \partial \Omega }{\frac {\mathbf {M} (\mathbf {s} )}{|\mathbf {r} -\mathbf {s} |}}\ {d}^{2}(\partial \Omega )} （2-3-6） さらに、ベクトル解析の公式を適用すると、 ∫ s ∈ ∂ Ω M ( s ) | r − s | d 2 ( ∂ Ω ) = ∫ s ∈ ∂ Ω < M ( s ) | n ∂ Ω > | r − s | | d 2 ( ∂ Ω ) | {\displaystyle {\int }_{\mathbf {s} \in \partial \Omega }{\frac {\mathbf {M} (\mathbf {s} )}{|\mathbf {r} -\mathbf {s} |}}\ {d}^{2}(\partial \Omega )={\int }_{\mathbf {s} \in \partial \Omega }{\frac {<\mathbf {M} (\mathbf {s} )|\mathbf {n} _{\partial \Omega }>}{|\mathbf {r} -\mathbf {s} |}}\ |{d}^{2}(\partial \Omega )|} （2-3-7） 従って、 ϕ M ( r ) = − ∫ s ∈ Ω div s [ M ( s ) | r − s | ] d 3 Ω + ∫ s ∈ ∂ Ω < M ( s ) | n ∂ Ω > | r − s | | d 2 ( ∂ Ω ) | {\displaystyle {\phi }_{M}(\mathbf {r} )=-{\int }_{\mathbf {s} \in \Omega }\operatorname {div} _{s}\left[{\frac {\mathbf {M} (\mathbf {s} )}{|\mathbf {r} -\mathbf {s} |}}\right]\ {d}^{3}\Omega \ +{\int }_{\mathbf {s} \in \partial \Omega }{\frac {<\mathbf {M} (\mathbf {s} )|\mathbf {n} _{\partial \Omega }>}{|\mathbf {r} -\mathbf {s} |}}\ |{d}^{2}(\partial \Omega )|} （2-3-8） ここで、 ∂ Ω {\displaystyle \partial \Omega } は、領域 Ω {\displaystyle \Omega } の境界面を意味する。また、 n ∂ Ω {\displaystyle \mathbf {n} _{\partial \Omega }} は、 ∂ Ω {\displaystyle \partial \Omega } の法線ベクトルを意味する。 今、体積磁荷密度と、表面磁荷密度を、 ρ M := − div r [ M ] {\displaystyle {\rho }_{M}:=-\operatorname {div} _{\mathbf {r} }[\mathbf {M} ]} （体積磁荷密度） （2-3-10） σ M :=< M | n ∂ Ω > {\displaystyle {\sigma }_{M}:=<\mathbf {M} \ |\ \mathbf {n} _{\partial \Omega }>} （表面磁荷密度） （2-3-11） により定めると、 ϕ M ( r ) = ∫ s ∈ Ω ρ M ( s ) | r − s | d 3 Ω + ∫ s ∈ ∂ Ω σ M ( s ) | r − s | | d 2 ( ∂ Ω ) | {\displaystyle {\phi }_{M}(\mathbf {r} )={\int }_{\mathbf {s} \in \Omega }{\frac {{\rho }_{M}(\mathbf {s} )}{|\mathbf {r} -\mathbf {s} |}}\ {d}^{3}\Omega \ +{\int }_{\mathbf {s} \in \partial \Omega }{\frac {{\sigma }_{M}(\mathbf {s} )}{|\mathbf {r} -\mathbf {s} |}}\ |{d}^{2}(\partial \Omega )|} （2-3-12） を得る。 一方、 ϕ M ( r ) {\displaystyle {\phi }_{M}(\mathbf {r} )} の定義により、 H M ( r ) = − grad r [ ϕ M ( r ) ] {\displaystyle {\mathbf {H} }_{M}(\mathbf {r} )=-\operatorname {grad} _{\mathbf {r} }[{\phi }_{M}(\mathbf {r} )]} （2-3-13） であるため、 H M ( r ) = ∫ s ∈ Ω grad r [ − ρ M ( s ) | r − s | ] d 3 Ω + ∫ s ∈ ∂ Ω grad r [ − σ M ( s ) | r − s | ] | d 2 ( ∂ Ω ) | {\displaystyle {\mathbf {H} }_{M}(\mathbf {r} )={\int }_{\mathbf {s} \in \Omega }\operatorname {grad} _{\mathbf {r} }\left[{\frac {{-\rho }_{M}(\mathbf {s} )}{|\mathbf {r} -\mathbf {s} |}}\right]\ {d}^{3}\Omega \ +{\int }_{\mathbf {s} \in \partial \Omega }\operatorname {grad} _{\mathbf {r} }\left[{\frac {{-\sigma }_{M}(\mathbf {s} )}{|\mathbf {r} -\mathbf {s} |}}\right]\ |{d}^{2}(\partial \Omega )|} （2-3-14） である。
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