直線

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直線

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2024/09/03 23:21 UTC 版)

直線（無限の長さは物理的に表示不能の為、上記では一部分を表示している。また、太さを持たないが、可視化のために太さを持たせている）

直線の正確な表示を模したもの（直線は太さを持たない図形である為、厳密に正しく表示した場合、視覚では確認不能となる。なお、この画像は直線は太さを持たないことを模したものであり、この画像には、線は含まれていない。）

線分

直線（ちょくせん、line）は、太さを持たない幾何学的な対象である曲線の一種で、その上にある点について一様に横たわる面である。まっすぐ無限に伸びて端点を持たない。まっすぐな線には直線の他に、有限の長さと両端を持つ線分（せんぶん、line segment、segment）と、一つの端点を始点として無限にまっすぐ伸びた半直線（はんちょくせん、ray、half-line）がある。表記の場合は可視化のために太さを持たせている。

概要

ユークリッドの幾何学では、直線は本質的に無定義述語である。つまり、「直線とは何か」を直接定義せずに、ただある関係（公理・公準）を満たすものであるとして理論を展開していくのである。ユークリッド幾何学においては以下のようなことである：

1. 二つの異なる点を与えれば、それを通る直線は一つに決まる。
2. 一つの直線とその上にない一つの点が与えられたとき、与えられた点を通り与えられた直線に平行な直線を、ただ一つ引くことができる。

また、このような公理から例えば以下のようなことが導かれる：二つの異なる直線は高々一つの点を共有する。二つの異なる平面は、高々一つの直線を共有する。

通常は、直線や線分は向きを持たず、半直線は向きを持つものとして扱われる。たとえば、2 点 A と B を結ぶ線分を AB と書くと、AB = BA である。一方で、向き付けられた直線、線分や向きを持たない半直線というものも考えることがある。たとえば線分の始点と終点を区別し、線分に向きを考えたものを有向線分と呼んで、有向線分としては AB ≠ BA と考える。

ユークリッド空間内の有向線分を、その位置のみの違いを除くことにより類別して、幾何学的ベクトル（いわゆる矢印ベクトル）の概念を考えることができる。逆にベクトルを用いてユークリッド空間やその中の線分・直線を定式化することもできるが、これについては後述する。

ユークリッド幾何学のように、無定義述語と公理によって構築される幾何学では、直線が「まっすぐ」であるなどのイメージは本質を持たない。曲がった空間の幾何学である非ユークリッド幾何学での直線（測地線）はユークリッド幾何学の中で見ると曲がって見えるのである。

1次元アフィン空間

アフィン空間（ベクトル）の理論を持ち出すと、次のようにして直線を定義することが出来る： ユークリッド空間 Eⁿ に対して、任意の一点 P と 0 でない一つのベクトル a が与えられたとき、

$L=\{P+\lambda \mathbf {a} \mid \lambda \in \mathbb {R} \}$

原点を 0、単位点を 1 として目盛りをつけた数直線

また、数直線を用いることで数の和や差が図として視覚的に与えることができるため、しばしば教育に用いられる。例えば、上の数直線では足し算（和）は右に進むことであり、引き算（差）は左に進むことである。したがって、

• 1 + 2 は目盛りの 1 から 2 目盛り右に進むから 3 である。
• 2 - 3 は目盛りの 2 から 3 目盛り左に進むから -1 である。

互いに直交する向き付けられた数直線によってルネ・デカルトは絶対的な静止座標系を定義した。これは直交座標系と呼ばれる。

原点を固定し、原点を始点とする半直線を用いて極座標系が定義できる。このときの半直線は始線と呼ばれる。

グラフとしての直線

直交座標系を入れた 2 次元ユークリッド空間 E² を考えている時には、直線は1次方程式の形で与えられる；

$L=\{(x,y)\mid ax+by=c\}$

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直線

• 曲線
  • 円 (数学)
  • 円錐曲線
    • 放物線
    • 楕円
    • 双曲線
• 平面
• 超平面 - —直線や平面は超平面に含まれる
• 線型方程式
• 一次関数
• 極座標

外部リンク

• 『直線』 - コトバンク