直接的な証明
出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2018/10/11 19:25 UTC 版)
P(x) = anxn + an−1xn−1 + ... + a1x + a0 (a0, ..., an ∈ Z) なる多項式を考える。互いに素な p, q ∈ Z に対して P(p / q) = 0 を満たすことを仮定する: P ( p q ) = a n ( p q ) n + a n − 1 ( p q ) n − 1 + ⋯ + a 1 ( p q ) + a 0 = 0. {\displaystyle P\left({\tfrac {p}{q}}\right)=a_{n}\left({\tfrac {p}{q}}\right)^{n}+a_{n-1}\left({\tfrac {p}{q}}\right)^{n-1}+\cdots +a_{1}\left({\tfrac {p}{q}}\right)+a_{0}=0.} (1) (1) から定数項 a0 を右辺へ移項し、両辺に qn を掛けることで以下の方程式を得る。 p ( a n p n − 1 + a n − 1 q p n − 2 + ⋯ + a 1 q n − 1 ) = − a 0 q n . {\displaystyle \qquad p(a_{n}p^{n-1}+a_{n-1}qp^{n-2}+\cdots +a_{1}q^{n-1})=-a_{0}q^{n}.} (2) p と括弧内の整数の積は −a0qn に等しく、従って p は a0qn を割り切れることが分かる。しかしながら、p と q は互いに素であり、ユークリッドの補題から同様に p と qn も互いに素であるため、p は残る因数 a0 を割り切ることが示される。 (1) から最高次の項 an(p/q)n を右辺へ移項し両辺に qn を掛けることで次の式を得る。 q ( a n − 1 p n − 1 + a n − 2 q p n − 2 + ⋯ + a 0 q n − 1 ) = − a n p n . {\displaystyle \qquad q(a_{n-1}p^{n-1}+a_{n-2}qp^{n-2}+\cdots +a_{0}q^{n-1})=-a_{n}p^{n}.} (3) p と a0 の場合と同様の理由で、q は最高次の係数 an を割り切ることが示される。
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