画像のモーメント
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2019/03/15 08:06 UTC 版)
「モーメント (数学)」の記事における「画像のモーメント」の解説
2変数関数 f(x, y) の (m + n) 次モーメント μ m n ( 0 ) {\displaystyle \mu _{mn}^{(0)}} は、 μ m n ( 0 ) = ∫ − ∞ ∞ ∫ − ∞ ∞ x m y n f ( x , y ) d x d y {\displaystyle \mu _{mn}^{(0)}=\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }x^{m}y^{n}f(x,y)\,dxdy} または、デジタル画像に対しては、 μ m n ( 0 ) = ∑ x ∑ y x m y n f ( x , y ) {\displaystyle \mu _{mn}^{(0)}=\sum _{x}\sum _{y}x^{m}y^{n}f(x,y)} で表される。 2変数関数のモーメントは、画像の特徴抽出に利用される。 画像のモーメントには、次のような性質がある。 μ 00 ( 0 ) {\displaystyle \mu _{00}^{(0)}} は面積（ピクセル値の総和。二値画像などでピクセル値が一定ならば面積を意味する。）。 点 ( μ 10 ( 0 ) / μ 00 ( 0 ) , μ 01 ( 0 ) / μ 00 ( 0 ) ) {\displaystyle (\mu _{10}^{(0)}/\mu _{00}^{(0)},\mu _{01}^{(0)}/\mu _{00}^{(0)})} は重心。 慣性主軸（周りの2次モーメントが最小になる直線）は重心を通り、傾きは tan θ {\displaystyle \tan \theta } で、θ は tan 2 θ = 2 μ 11 ( 0 ) / ( μ 20 ( 0 ) − μ 02 ( 0 ) ) {\displaystyle \tan 2\theta =2\mu _{11}^{(0)}/(\mu _{20}^{(0)}-\mu _{02}^{(0)})} を満たす。 慣性主軸を x 軸に一致させれば、中心モーメントは平行移動・回転に対し不変、中心モーメントを μ 00 ( 0 ) {\displaystyle \mu _{00}^{(0)}} で割った値は拡大縮小に対し不変。 モーメントは同様に、多変数関数に拡張できる。
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