加群のテンソル積
(環上の加群のテンソル積 から転送)
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/07/04 16:45 UTC 版)
ナビゲーションに移動 検索に移動数学において、加群のテンソル積 (tensor product of modules) は双線型写像（例えば積）についての議論を線型写像（加群準同型）の言葉でできるようにする構成である。その加群の構成はベクトル空間のテンソル積の構成と類似であるが、可換環上の加群の組に対して実行して第三の加群を得ることができ、また任意の環上の左加群と右加群の組に対しても実行できてアーベル群が得られる。テンソル積は抽象代数学、ホモロジー代数学、代数トポロジー、代数幾何学の分野において重要である。ベクトル空間に関するテンソル積の普遍性は抽象代数学のより一般的な状況に拡張される。それによって線型演算を通じて双線型あるいは多重線型演算を研究することができる。代数と加群のテンソル積は係数拡大のために使うことができる。可換環の場合には、加群のテンソル積を繰り返して加群のテンソル代数を作ることができ、加群の積を普遍的な方法で定義することができる。
多重線型写像
環 R、右 R-加群 MR、左 R-加群 RN、アーベル群 Z に対して、M × N から Z への双線型写像 (bilinear map) あるいは平衡積 (balanced product) とは関数 φ: M × N → Z であってすべての m, m′ ∈ M、n, n′ ∈ N、r ∈ R に対して次の3条件が成り立つものである：
- φ(m + m′, n) = φ(m, n) + φ(m′, n)
- φ(m, n + n′) = φ(m, n) + φ(m, n′)
- φ(m · r, n) = φ(m, r · n).
M × N から Z へのすべての双線型写像の集合は Bilin(M, N; Z) で表記される。
最後の性質はベクトル空間に対する定義とわずかに異なる。これは必要である；なぜならば Z はアーベル群であるとしか仮定されていないなので r · φ(m, n) は意味をなさない。
双線型写像 φ, ψ に対し演算を pointwise に定義すると φ + ψ は双線型写像であり −φ も双線型写像である。これは集合 Bilin(M, N; Z) をアーベル群にする。単位元は零写像である。
固定された M と N に対し、写像 Z ↦ Bilin(M, N; Z) はアーベル群の圏から集合の圏への関手である。射の部分は群準同型 g : Z → W を関数 φ ↦ g ∘ φ に写す — これは Bilin(M, N; Z) から Bilin(M, N; W) へ行く — ことで与えられる。
定義
M, N と R を前節のようにする。R 上のテンソル積 (tensor product)
- すべてのアーベル群 Z とすべての双線型写像
- Hazewinkel, Michiel; Gubareni, Nadezhda Mikhaĭlovna; Gubareni, Nadiya; Kirichenko, Vladimir V. (2004), Algebras, rings and modules, Springer, ISBN 978-1-4020-2690-4.
- Jacobson, Nathan (2009), Basic Algebra, I (2nd ed.), Dover, ISBN 978-0-486-47189-1
- Northcott, D.G. (1984), Multilinear Algebra, Cambridge University Press, ISBN 613-0-04808-4.
関連項目
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