平坦加群との関係
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/07/04 16:45 UTC 版)
「加群のテンソル積」の記事における「平坦加群との関係」の解説
一般に、 − ⊗ R − : M o d - R × R - M o d → A b {\displaystyle -\otimes _{R}-:\mathrm {Mod} {\mbox{-}}R\times R{\mbox{-}}\mathrm {Mod} \rightarrow \mathrm {Ab} } はインプットとして右と左 R-加群を受け付けアーベル群の圏のテンソル積にそれらを割り当てる双関手（英語版）である。 右 R 加群 M を固定することによって関手 M ⊗ R − : R - M o d → A b {\displaystyle M\otimes _{R}-:R{\mbox{-}}\mathrm {Mod} \rightarrow \mathrm {Ab} } が生じ、対称的に左 R 加群 N を固定して関手 − ⊗ R N : M o d - R → A b {\displaystyle -\otimes _{R}N:\mathrm {Mod} {\mbox{-}}R\rightarrow \mathrm {Ab} } を作ることができる。Hom関手 H o m R ( − , − ) {\displaystyle \mathrm {Hom} _{R}(-,-)} とは異なり、テンソル積は両方のインプットで共変である。 M⊗- と -⊗N はつねに右完全関手であるが左完全とは限らないことを証明できる。定義により、加群 T は T⊗- が完全関手ならば平坦加群である。 {mi}i∈I と {nj}j∈J がそれぞれ M と N の生成集合であれば、 {mi⊗nj}i∈I,j∈J は M⊗N の生成集合になる。テンソル関手 M⊗R- は左完全でないことがあるので、これはもとの生成集合が極小であったとしても極小生成集合ではないかもしれない。 テンソル積が体 F 上でとられているならば -⊗- が両方の位置で完全であり、生成集合が M と N の基底であるとき、 { m i ⊗ n j ∣ i ∈ I , j ∈ J } {\displaystyle \{m_{i}\otimes n_{j}\mid i\in I,j\in J\}} は確かに M⊗F N の基底をなすということは正しい。
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