正規部分群と準同型とは? わかりやすく解説

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正規部分群と準同型

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2021/12/12 16:34 UTC 版)

正規部分群」の記事における「正規部分群と準同型」の解説

N が G の正規部分群ならば、剰余類の間の乗法を (a1N)(a2N) := (a1a2)N によって定義することができる。これにより、剰余類全体剰余群 G/N とよばれる群とすることができる。群 G と剰余群 G/N との間には、π(a) := aN で定義される射影、あるいは商写像呼ばれる自然な全射準同型 π: G → G/N が存在する。自然な準同型 π による N の像 π(N) は、G/N の単位元である剰余類 eN = N のみを含む一元集合 {N} である。 一般に準同型 f: G → H は G の部分群を H の部分群に写す。また、H の任意の部分群原像逆像)は G の部分群となる。H の自明な部分群 {e} の準同型 f による逆像 f−1({e}) を、準同型 f のと言い記号 ker(f) で表す。さらに、はつねに正規部分群であり、G の像 f(G) と、商群 G/ker(f) はつねに同型である(第一同型定理参照)。実は、この同型対応は G の剰余群全体の成す集合と G の準同型像の同型全体の成す集合との間の全単射与えている。これと、商写像 f: G → G/N のが N それ自身であることはすぐにわかるから、まとめると G の正規部分群はすべて G を定義域とするなんらかの群準同型として得られることが示せる。

※この「正規部分群と準同型」の解説は、「正規部分群」の解説の一部です。
「正規部分群と準同型」を含む「正規部分群」の記事については、「正規部分群」の概要を参照ください。

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