様々な数の連分数展開
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/04/28 06:27 UTC 版)
下線部はそれぞれの循環節。 2の平方根 2 = [ 1 ; 2 , 2 , 2 , 2 , 2 , 2 , … ] = 1 + 1 2 + 1 2 + 1 2 + 1 2 + 1 2 + 1 2 + 1 ⋯ {\displaystyle {\sqrt {2}}=[1;2,2,2,2,2,2,\dots ]=1+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{\cdots }}}}}}}}}}}}}}} （2。循環節の長さは 1） 3の平方根 3 = [ 1 ; 1 , 2 , 1 , 2 , 1 , 2 , … ] = 1 + 1 1 + 1 2 + 1 1 + 1 2 + 1 1 + 1 2 + 1 ⋯ {\displaystyle {\sqrt {3}}=[1;1,2,1,2,1,2,\dots ]=1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{\cdots }}}}}}}}}}}}}}} （1, 2。循環節の長さは 2） 黄金数の逆数 φ−1 = [0; 1, 1, 1, 1, 1, 1, ...]（1。循環節の長さは 1） 白銀数 1 + √2 = [2; 2, 2, 2, 2, 2, 2,…]（2。循環節の長さは 1）白銀数の逆数 1 1 + 2 = − 1 + 2 = [ 0 ; 2 , 2 , 2 , 2 , 2 , 2 , … ] {\displaystyle {\frac {1}{1+{\sqrt {2}}}}=-1+{\sqrt {2}}=[0;2,2,2,2,2,2,\dots ]} （2。循環節の長さは 1） 以上は二次無理数であるので、循環する連分数展開を持つ。 ネイピア数は超越数であり、その連分数展開は循環しないものの一定の規則性を持つ。 ネイピア数 e = [2; 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6, 1, 1, 8, 1, 1, 10, ...](オンライン整数列大辞典の数列 A003417) 円周率の正則連分数展開には規則性がないと考えられている。 円周率 π = [3; 7, 15, 1, 292, 1, 1, 1, 2, 1, 3, ...]（オンライン整数列大辞典の数列 A001203） 円周率の正則でない連分数で規則性を持つものが存在する。 π = 3 + 1 2 6 + 3 2 6 + 5 2 6 + 7 2 6 + 9 2 6 + 11 2 ⋱ {\displaystyle \pi =3+{\cfrac {1^{2}}{6+{\cfrac {3^{2}}{6+{\cfrac {5^{2}}{6+{\cfrac {7^{2}}{6+{\cfrac {9^{2}}{6+{\cfrac {11^{2}}{\ddots \,}}}}}}}}}}}}} 4 π = 1 + 1 2 3 + 2 2 5 + 3 2 7 + 4 2 9 + 5 2 11 + 6 2 ⋱ {\displaystyle {\cfrac {4}{\pi }}=1+{\cfrac {1^{2}}{3+{\cfrac {2^{2}}{5+{\cfrac {3^{2}}{7+{\cfrac {4^{2}}{9+{\cfrac {5^{2}}{11+{\cfrac {6^{2}}{\ddots \,}}}}}}}}}}}}} 「円周率の歴史」および「ライプニッツの公式」も参照
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