楕円柱座標の例
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/03/03 13:52 UTC 版)
「ハミルトン–ヤコビ方程式」の記事における「楕円柱座標の例」の解説
楕円柱座標（en:elliptic cylindrical coordinates）のハミルトニアンは以下のように書かれる。 H = p μ 2 + p ν 2 2 m a 2 ( sinh 2 μ + sin 2 ν ) + p z 2 2 m + U ( μ , ν , z ) {\displaystyle H={\frac {p_{\mu }^{2}+p_{\nu }^{2}}{2ma^{2}\left(\sinh ^{2}\mu +\sin ^{2}\nu \right)}}+{\frac {p_{z}^{2}}{2m}}+U(\mu ,\nu ,z)} ここで楕円の焦点は x {\displaystyle x} 軸上 ± a {\displaystyle \pm {a}} の点にある。ハミルトン–ヤコビ方程式が完全に分離可能なのは、 U {\displaystyle U} が以下のように同じような形で与えられた場合である。 U ( μ , ν , z ) = U μ ( μ ) + U ν ( ν ) sinh 2 μ + sin 2 ν + U z ( z ) {\displaystyle U(\mu ,\nu ,z)={\frac {U_{\mu }(\mu )+U_{\nu }(\nu )}{\sinh ^{2}\mu +\sin ^{2}\nu }}+U_{z}(z)} ただし U μ ( μ ) {\displaystyle U_{\mu }(\mu )} , U ν ( ν ) {\displaystyle U_{\nu }(\nu )} , U z ( z ) {\displaystyle U_{z}(z)} は任意の関数である。完全に分離された解 S = S μ ( μ ) + S ν ( ν ) + S z ( z ) − E t {\displaystyle S=S_{\mu }(\mu )+S_{\nu }(\nu )+S_{z}(z)-Et} をハミルトン–ヤコビ方程式に代入することにより以下が得られる。 1 2 m ( d S z d z ) 2 + U z ( z ) + 1 2 m a 2 ( sinh 2 μ + sin 2 ν ) [ ( d S μ d μ ) 2 + ( d S ν d ν ) 2 + 2 m a 2 U μ ( μ ) + 2 m a 2 U ν ( ν ) ] = E {\displaystyle {\frac {1}{2m}}\left({\frac {dS_{z}}{dz}}\right)^{2}+U_{z}(z)+{\frac {1}{2ma^{2}\left(\sinh ^{2}\mu +\sin ^{2}\nu \right)}}\left[\left({\frac {dS_{\mu }}{d\mu }}\right)^{2}+\left({\frac {dS_{\nu }}{d\nu }}\right)^{2}+2ma^{2}U_{\mu }(\mu )+2ma^{2}U_{\nu }(\nu )\right]=E} 最初の常微分方程式、 1 2 m ( d S z d z ) 2 + U z ( z ) = Γ z {\displaystyle {\frac {1}{2m}}\left({\frac {dS_{z}}{dz}}\right)^{2}+U_{z}(z)=\Gamma _{z}} を分離し、変形して両辺に分母を掛けると以下の簡約されたハミルトン–ヤコビ方程式が得られる。 ( d S μ d μ ) 2 + ( d S ν d ν ) 2 + 2 m a 2 U μ ( μ ) + 2 m a 2 U ν ( ν ) = 2 m a 2 ( sinh 2 μ + sin 2 ν ) ( E − Γ z ) {\displaystyle \left({\frac {dS_{\mu }}{d\mu }}\right)^{2}+\left({\frac {dS_{\nu }}{d\nu }}\right)^{2}+2ma^{2}U_{\mu }(\mu )+2ma^{2}U_{\nu }(\nu )=2ma^{2}\left(\sinh ^{2}\mu +\sin ^{2}\nu \right)\left(E-\Gamma _{z}\right)} さらにこれは独立な 2 つの常微分方程式 ( d S μ d μ ) 2 + 2 m a 2 U μ ( μ ) + 2 m a 2 ( Γ z − E ) sinh 2 μ = Γ μ {\displaystyle \left({\frac {dS_{\mu }}{d\mu }}\right)^{2}+2ma^{2}U_{\mu }(\mu )+2ma^{2}\left(\Gamma _{z}-E\right)\sinh ^{2}\mu =\Gamma _{\mu }} ( d S ν d ν ) 2 + 2 m a 2 U ν ( ν ) + 2 m a 2 ( Γ z − E ) sin 2 ν = Γ ν {\displaystyle \left({\frac {dS_{\nu }}{d\nu }}\right)^{2}+2ma^{2}U_{\nu }(\nu )+2ma^{2}\left(\Gamma _{z}-E\right)\sin ^{2}\nu =\Gamma _{\nu }} に分離でき、これらを解けば S {\displaystyle S} の完全な解が得られる。
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楕円柱座標の例
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楕円柱座標（en:elliptic cylindrical coordinates）のハミルトニアンは以下のように書かれる。 ここで楕円の焦点は 軸上 の点にある。ハミルトン–ヤコビ方程式が完全に分離可能なのは、 が以下のように同じような形で与えられた場合である。 ただし , , は任意の関数である。完全に分離された解 をハミルトン–ヤコビ方程式に代入することにより以下が得られる。 最初の常微分方程式、 を分離し、変形して両辺に分母を掛けると以下の簡約されたハミルトン–ヤコビ方程式が得られる。 さらにこれは独立な 2 つの常微分方程式 に分離でき、これらを解けば の完全な解が得られる。
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