楕円曲線上の加算
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/04/14 16:12 UTC 版)
楕円曲線E上に位置する2点 P A ( x 1 , y 1 ) , P B ( x 2 , y 2 ) {\displaystyle P_{\!A}\,(x_{1},\,y_{1}),\,P_{\!B}\,(x_{2},\,y_{2})} の加算は以下の通りである。 まず、無限遠点を O {\displaystyle O} とすると、 P A + O = O + P A = P A {\displaystyle P_{\!A}+O=O+P_{\!A}=P_{\!A}} である。すなわち、 O {\displaystyle O} が単位元である。 もし x 1 = x 2 , y 1 = − y 2 {\displaystyle x_{1}=x_{2},y_{1}=-y_{2}} ならば、 P A + P B = O {\displaystyle P_{\!A}+P_{\!B}=O} である。 それ以外の場合、 P C = P A + P B {\displaystyle P_{\!C}=P_{\!A}+P_{\!B}} は、2点 P A , P B {\displaystyle P_{\!A},\,P_{\!B}} を通る直線とEとの（ P A {\displaystyle P_{\!A}} および P B {\displaystyle P_{\!B}} と異なる）交点の、y座標の符号を反転したものである。すなわち P C ( x 3 , y 3 ) {\displaystyle P_{\!C}\,(x_{3},\,y_{3})} は以下のようになる。 x 3 = ϕ 2 − x 1 − x 2 , {\displaystyle x_{3}=\phi ^{2}-x_{1}-x_{2},} y 3 = − ϕ x 3 − ψ . {\displaystyle y_{3}=-\phi x_{3}-\psi .} ただし ϕ , ψ {\displaystyle \phi ,\,\psi } は ϕ = y 2 − y 1 x 2 − x 1 , {\displaystyle \phi ={\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}},} ψ = y 1 x 2 − y 2 x 1 x 2 − x 1 . {\displaystyle \psi ={\frac {y_{1}x_{2}-y_{2}x_{1}}{x_{2}-x_{1}}}.}
※この「楕円曲線上の加算」の解説は、「楕円曲線暗号」の解説の一部です。
「楕円曲線上の加算」を含む「楕円曲線暗号」の記事については、「楕円曲線暗号」の概要を参照ください。
- 楕円曲線上の加算のページへのリンク
