楕円積分のランデン変換とガウス変換
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2018/09/19 10:13 UTC 版)
「ランデン変換」の記事における「楕円積分のランデン変換とガウス変換」の解説
第一種楕円積分 F ( sin α , k ) = ∫ t = 0 sin α d t 1 − t 2 1 − k 2 t 2 = ∫ ϕ = 0 α d ϕ 1 − k 2 sin 2 ϕ {\displaystyle F\left(\sin \alpha ,k\right)=\int _{t=0}^{\sin \alpha }{\frac {dt}{{\sqrt {1-t^{2}}}{\sqrt {1-k^{2}t^{2}}}}}=\int _{\phi =0}^{\alpha }{\frac {d\phi }{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\phi }}}} につき、次の恒等式をランデン変換という。 F ( sin α , k ) = 2 1 + k F ( 1 2 ( 1 + k ) 2 sin 2 α + ( 1 − k 2 sin 2 ϕ − 1 − sin 2 ϕ ) 2 , 2 k 1 + k ) {\displaystyle F\left(\sin \alpha ,k\right)={\frac {2}{1+k}}F\left({\frac {1}{2}}{\sqrt {\left(1+k\right)^{2}\sin ^{2}\alpha +\left({\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\phi }}-{\sqrt {1-\sin ^{2}\phi }}\right)^{2}}},{\frac {2{\sqrt {k}}}{1+k}}\right)} 同じく、次の恒等式をガウス変換という。 F ( sin α , k ) = 1 1 + k F ( ( 1 + k ) sin α 1 + k sin 2 α , 2 k 1 + k ) {\displaystyle F\left(\sin \alpha ,k\right)={\frac {1}{1+k}}F\left({\frac {(1+k)\sin \alpha }{1+k\sin ^{2}\alpha }},{\frac {2{\sqrt {k}}}{1+k}}\right)}
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