楕円積分の逆関数による定義
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2018/06/22 05:41 UTC 版)
「ヤコビの楕円関数」の記事における「楕円積分の逆関数による定義」の解説
上記のように、特定の性質を持つ唯一の有理型関数として定義するのは非常に抽象的である。より単純で、完全に同値な定義として、第1種不完全楕円積分の逆関数として定義することができる。まず、 u = ∫ 0 ϕ d θ 1 − m sin 2 θ {\displaystyle u=\int _{0}^{\phi }{\frac {\mathrm {d} \theta }{\sqrt {1-m\sin ^{2}\theta }}}} sn u = sin ϕ {\displaystyle \operatorname {sn} \;u=\sin \phi \,} cn u = cos ϕ {\displaystyle \operatorname {cn} \;u=\cos \phi } dn u = 1 − m sin 2 ϕ {\displaystyle \operatorname {dn} \;u={\sqrt {1-m\sin ^{2}\phi }}} で与えられる。 ここで、角 ϕ {\displaystyle \phi } を振幅と呼ぶ。dn u = Δ(u) をdelta amplitudeと呼ぶこともある。上の値 m は自由なパラメタで、通常は実数を使い、0 ≤ m ≤ 1 とする。これにより、楕円関数は、ふたつの変数、振幅 ϕ {\displaystyle \phi } とパラメタmの関数だと考えることができる。 残りの9つの楕円関数は上記の3つから簡単に構成することができ、下の節で与えられる。 注意として、 ϕ = π / 2 {\displaystyle \phi =\pi /2} の場合は、u は四半周期 K となる。
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