楕円曲線上での2倍算
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/04/14 16:12 UTC 版)
「楕円曲線暗号」の記事における「楕円曲線上での2倍算」の解説
楕円曲線E上の点 P A ( x 1 , y 1 ) {\displaystyle P_{\!A}\,(x_{1},\,y_{1})} に対し、これを2倍した点 2 P A = P A + P A {\displaystyle 2P_{\!A}=P_{\!A}+P_{\!A}} は、以下のように求められる。 y 1 = 0 {\displaystyle y_{1}=0} のとき、 2 P A = O {\displaystyle 2P_{\!A}=O} である。また、 2 O = O + O = O {\displaystyle 2O=O+O=O} である。 それ以外の場合は、 P D = 2 P A {\displaystyle P_{\!D}=2P_{\!A}} は、 P A {\displaystyle P_{\!A}} でのEの接線がE自身と交わる（ P A {\displaystyle P_{\!A}} とは異なる）交点の、y座標の符号を反転したものである。すなわち P D ( x 4 , y 4 ) {\displaystyle P_{\!D}\,(x_{4},\,y_{4})} は以下で求められる。 x 4 = ϕ 2 − 2 x 1 , {\displaystyle x_{4}=\phi ^{2}-2x_{1},} y 4 = − ϕ x 4 − ψ . {\displaystyle y_{4}=-\phi x_{4}-\psi .} この式は異なる二点の加算の場合と同じであるが、 ϕ , ψ {\displaystyle \phi ,\,\psi } の計算式が次のように変わる。 ϕ = 3 x 1 2 + a 2 y 1 , {\displaystyle \phi ={\frac {3x_{1}^{2}+a}{2y_{1}}},} ψ = − 3 x 1 3 − a x 1 + 2 y 1 2 2 y 1 . {\displaystyle \psi ={\frac {-3x_{1}^{3}-ax_{1}+2y_{1}^{2}}{2y_{1}}}.}
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