最短経路の導出
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/08/01 15:38 UTC 版)
「大円距離」も参照 大円の劣弧長が球面上の二点間を結び最短経路であることを示すために、変分法を適用することができる。 点 p から別の点 q への正則経路全体の成すクラスを考える。球面座標系を入れて、p を北極に一致させる。端点以外ではどちらの極も通らない球面上の任意の曲線は θ := θ ( t ) , ϕ := ϕ ( t ) , ( a ≤ t ≤ b ) {\displaystyle \theta :=\theta (t),\quad \phi :=\phi (t),\quad (a\leq t\leq b)} と媒介表示できる。φ は任意の実数値をとれるものと仮定する。この座標系における無限小弧長（線素）は d s = r θ ′ 2 + ϕ ′ 2 sin 2 θ d t {\displaystyle ds=r{\sqrt {\theta '^{2}+\phi '^{2}\sin ^{2}\theta }}\,dt} で与えられるから、p から q へ向かう曲線 γ の弧長は、曲線を変数とする汎函数として S [ γ ] := r ∫ a b θ ′ 2 + ϕ ′ 2 sin 2 θ d t {\displaystyle S[\gamma ]:=r\int _{a}^{b}{\sqrt {\theta '^{2}+\phi '^{2}\sin ^{2}\theta }}\,dt} で与えられる。オイラー–ラグランジュ方程式に従って、S[γ] が最小化される必要十分条件が sin 2 θ ϕ ′ θ ′ 2 + ϕ ′ 2 sin 2 θ = C {\displaystyle {\frac {\sin ^{2}\theta \phi '}{\sqrt {\theta '^{2}+\phi '^{2}\sin ^{2}\theta }}}=C} （C は t に無関係な定数）および sin θ cos θ ϕ ′ 2 θ ′ 2 + ϕ ′ 2 sin 2 θ = d d t θ ′ θ ′ 2 + ϕ ′ 2 sin 2 θ {\displaystyle {\frac {\sin \theta \cos \theta \phi '^{2}}{\sqrt {\theta '^{2}+\phi '^{2}\sin ^{2}\theta }}}={\frac {d}{dt}}{\frac {\theta '}{\sqrt {\theta '^{2}+\phi '^{2}\sin ^{2}\theta }}}} となることであるとわかる。前二つの式から、 ϕ ′ = C θ ′ sin θ sin 2 θ − C 2 {\displaystyle \phi '={\frac {C\theta '}{\sin \theta {\sqrt {\sin ^{2}\theta -C^{2}}}}}} を得る。両辺積分して境界条件を考慮すれば、C の実解は 0 で、φ′ = 0 となり、θ は 0 から θ0 の間の任意の値となれるから、これは曲線が球面の経線上に載っていることを示唆している。直交座標系では x sin ϕ 0 − y cos ϕ 0 = 0 {\displaystyle x\sin \phi _{0}-y\cos \phi _{0}=0} が球面の中心である原点を通る平面を表す。
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