時間的に定常な磁化が作り出す磁束密度
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/06/06 01:28 UTC 版)
「静磁場」の記事における「時間的に定常な磁化が作り出す磁束密度」の解説
次に、時間的に定常な磁化が作り出す磁束密度について考えよう。磁気ベクトルポテンシャルの回転微分をとれば、磁束密度が得られる。 (1)原点に置かれた磁気モーメントmは、空間上の位置rに作り出す磁気ベクトルポテンシャルは、前述の通り、 a 0 ( r ) = μ 0 4 π ( m × r | r | ) {\displaystyle \mathbf {a} _{0}(\mathbf {r} )={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\left({\frac {\mathbf {m} \times \mathbf {r} }{|\mathbf {r} |}}\right)} （2-2-1） である。これの回転微分をとることで、原点に置かれた磁気モーメントmが、空間上の位置rに作り出す磁束密度は、 b 0 ( r ) = rot r [ μ 0 4 π ( m × r | r | ) ] = μ 0 4 π grad r [ < m | r > | r | 3 ] + μ 0 4 π div r [ r | r | ] m {\displaystyle \mathbf {b} _{0}(\mathbf {r} )=\operatorname {rot} _{\mathbf {r} }\left[{\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\left({\frac {\mathbf {m} \times \mathbf {r} }{|\mathbf {r} |}}\right)\right]={\frac {{\mu }_{0}}{4\pi }}\operatorname {grad} _{\mathbf {r} }\left[{\frac {<\mathbf {m} |\mathbf {r} >}{{|\mathbf {r} |}^{3}}}\right]+{\frac {{\mu }_{0}}{4\pi }}\operatorname {div} _{\mathbf {r} }\left[{\frac {\mathbf {r} }{|\mathbf {r} |}}\right]\mathbf {m} } （2-2-2） であることが判る。ここで、 < | > {\displaystyle <\ |\ >} は、内積を表す。 (2)従って、"(1)"を平行移動すれば、位置 s ∈ R 3 {\displaystyle \mathbf {s} \in \mathbb {R} ^{3}} に置かれた磁気モーメントmが、空間上の位置rに作り出す磁束密度が、 b s ( r ) = rot r [ μ 0 4 π ( m × ( r − s ) | r − s | ) ] = μ 0 4 π grad r [ < m | ( r − s ) > | r − s | 3 ] + μ 0 4 π div r [ r − s | r − s | ] m {\displaystyle \mathbf {b} _{s}(\mathbf {r} )=\operatorname {rot} _{\mathbf {r} }\left[{\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\left({\frac {\mathbf {m} \times (\mathbf {r} -\mathbf {s} )}{|\mathbf {r} -\mathbf {s} |}}\right)\right]={\frac {{\mu }_{0}}{4\pi }}\ \operatorname {grad} _{\mathbf {r} }\left[{\frac {<\mathbf {m} |(\mathbf {r} -\mathbf {s} )>}{{|\mathbf {r} -\mathbf {s} |}^{3}}}\right]+{\frac {{\mu }_{0}}{4\pi }}\ \operatorname {div} _{\mathbf {r} }\left[{\frac {\mathbf {r} -\mathbf {s} }{|\mathbf {r} -\mathbf {s} |}}\right]\mathbf {m} } （2-2-3） であることが判る。 従って、上記の磁気モーメント M ( s ) d s {\displaystyle \mathbf {M} (\mathbf {s} )d\mathbf {s} } それぞれは、磁束密度 μ 0 4 π grad r [ < M ( s ) d 3 s | ( r − s ) > | r − s | 3 ] + μ 0 4 π div r [ r − s | r − s | ] M ( s ) d 3 s {\displaystyle {\frac {{\mu }_{0}}{4\pi }}\operatorname {grad} _{\mathbf {r} }\left[{\frac {<\mathbf {M} (\mathbf {s} ){d}^{3}\mathbf {s} |(\mathbf {r} -\mathbf {s} )>}{{|\mathbf {r} -\mathbf {s} |}^{3}}}\right]+{\frac {{\mu }_{0}}{4\pi }}\operatorname {div} _{\mathbf {r} }\left[{\frac {\mathbf {r} -\mathbf {s} }{|\mathbf {r} -\mathbf {s} |}}\right]\mathbf {M} (\mathbf {s} ){d}^{3}\mathbf {s} } （2-2-4） を作り出す。 上記の磁気ベクトルポテンシャルそれぞれを、全ての s ∈ Ω {\displaystyle \mathbf {s} \in \Omega } に渡って足し合わせると、 B M ( r ) = μ 0 4 π ∫ s ∈ Ω grad r [ < M ( s ) | ( r − s ) > | r − s | 3 ] + div r [ r − s | r − s | ] M ( s ) d 3 s {\displaystyle \mathbf {B} _{M}(\mathbf {r} )={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}{\int }_{\mathbf {s} \in \Omega }\operatorname {grad} _{\mathbf {r} }\left[{\frac {<\mathbf {M} (\mathbf {s} )|(\mathbf {r} -\mathbf {s} )>}{{|\mathbf {r} -\mathbf {s} |}^{3}}}\right]+\operatorname {div} _{\mathbf {r} }\left[{\frac {\mathbf {r} -\mathbf {s} }{|\mathbf {r} -\mathbf {s} |}}\right]\mathbf {M} (\mathbf {s} )\ {d}^{3}\mathbf {s} } （2-2-5） を得る。即ち、物質の磁化 M ( r ) {\displaystyle \mathbf {M} (\mathbf {r} )} は、上記の磁気ベクトルポテンシャル B M {\displaystyle \mathbf {B} _{M}} を空間内に作り出す さて、ベクトル解析の公式から、 M ( s ) = ∫ s ∈ Ω div r [ r − s | r − s | ] M ( s ) d 3 s {\displaystyle \mathbf {M} (\mathbf {s} )\ =\ {\int }_{\mathbf {s} \in \Omega }\ \operatorname {div} _{\mathbf {r} }\left[{\frac {\mathbf {r} -\mathbf {s} }{|\mathbf {r} -\mathbf {s} |}}\right]\mathbf {M} (\mathbf {s} )\ {d}^{3}s} （2-2-6） が判る。 従って、上記の磁気モーメント M ( s ) d s {\displaystyle \mathbf {M} (\mathbf {s} )d\mathbf {s} } それぞれが作り出す磁束密度は、 μ 0 4 π grad r [ < M ( s ) d 3 s | ( r − s ) > | r − s | 3 ] + μ 0 δ ( r − s ) M ( s ) d 3 s {\displaystyle {\frac {{\mu }_{0}}{4\pi }}\operatorname {grad} _{\mathbf {r} }\left[{\frac {<\mathbf {M} (\mathbf {s} ){d}^{3}\mathbf {s} |(\mathbf {r} -\mathbf {s} )>}{{|\mathbf {r} -\mathbf {s} |}^{3}}}\right]+{\mu }_{0}\delta (\mathbf {r} -\mathbf {s} )\mathbf {M} (\mathbf {s} ){d}^{3}\mathbf {s} } （2-2-7） と書けることが判る。従って、 B M ( r ) = μ 0 4 π ∫ s ∈ Ω grad r [ < M ( s ) | ( r − s ) > | r − s | 3 ] d 3 s + μ 0 M ( r ) {\displaystyle \mathbf {B} _{M}(\mathbf {r} )={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}{\int }_{\mathbf {s} \in \Omega }\operatorname {grad} _{\mathbf {r} }\left[{\frac {<\mathbf {M} (\mathbf {s} )|(\mathbf {r} -\mathbf {s} )>}{{|\mathbf {r} -\mathbf {s} |}^{3}}}\right]\ {d}^{3}{s}+\mu _{0}\mathbf {M} (\mathbf {r} )} （2-2-8） を得る。 今、新たな場 H M {\displaystyle \mathbf {H} _{M}} を、 H M ( r ) := 1 4 π ∫ s ∈ Ω grad r [ < M ( s ) | ( r − s ) > | r − s | 3 ] d 3 s {\displaystyle \mathbf {H} _{M}(\mathbf {r} ):={\frac {1}{4\pi }}{\int }_{\mathbf {s} \in \Omega }\operatorname {grad} _{\mathbf {r} }\left[{\frac {<\mathbf {M} (\mathbf {s} )|(\mathbf {r} -\mathbf {s} )>}{{|\mathbf {r} -\mathbf {s} |}^{3}}}\right]\ {d}^{3}{s}} （2-2-9） と定義すると、 B M ( r ) = μ 0 ( H M ( r ) + M ( r ) ) {\displaystyle \mathbf {B} _{M}(\mathbf {r} )={\mu }_{0}(\mathbf {H} _{M}(\mathbf {r} )+\mathbf {M} (\mathbf {r} ))} （2-2-10） が得られる。 さて、以上の議論から「物質の磁化Mが既知である場合に限れば、その磁化Mが作り出す磁束密度BMを計算する術が得られた」ことになる。然しながら、物質の磁化Mが既知でない場合には、上述の関係式のみからは、BMもMも、判らない。上述の関係式は、一つの拘束条件を与えているに過ぎないのである。（だが、極めて重要な関係式ではある）。 例えば、磁化Miniを帯びた鉄心が空間におかれていたとき、外部からの磁束密度 B ext ( r ) {\displaystyle \mathbf {B} _{\text{ext}}(\mathbf {r} )} が与えられたとき、鉄心の磁化は、元々の磁化Miniと、外部からの磁束密度 B ext ( r ) {\displaystyle \mathbf {B} _{\text{ext}}(\mathbf {r} )} の影響で、元々の磁化Miniとは異なる新たな磁化Mconを得ることになる。仮に、このMconが判れば、全系の磁束密度が計算できるのだが、 （難所）元々磁化Miniを帯びている物質に、外部から磁束密度 B ext ( r ) {\displaystyle \mathbf {B} _{\text{ext}}(\mathbf {r} )} を印加したとき、最終的に、物質がどのようなMconを得るか？ が、実のところは難しい。そこで、一般には。B-H曲線等の実測結果と、上記の拘束条件を考え合わせ、数値計算によって磁束密度や磁化が計算されるのである。但し、線形物質に関して言えば、上の難所は比較的簡単である。このような特殊な物質に関する問題については、次章で述べることにする。
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