対流項
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2017/01/18 08:45 UTC 版)
移流項における ∇ φ {\displaystyle \nabla \varphi } は スカラー量の勾配であるが、対流項における ∇ A {\displaystyle \nabla {\boldsymbol {A}}} はベクトル量の共変微分である。ベクトル量の対流項 v ⋅ ∇ A {\displaystyle {\boldsymbol {v}}\cdot \nabla {\boldsymbol {A}}} を ( v ⋅ grad ) A {\displaystyle ({\boldsymbol {v}}\cdot \operatorname {grad} ){\boldsymbol {A}}} と記述することがあるが、この表示はデカルト座標系でしか等価でないことに注意すべきである（スカラー量の対流項 v ⋅ ∇ φ {\displaystyle {\boldsymbol {v}}\cdot \nabla \varphi } については ( v ⋅ grad ) φ {\displaystyle ({\boldsymbol {v}}\cdot \operatorname {grad} )\varphi } と等価である）。 共変微分を使わずに一般の座標系で成り立つ表現としては D A D t = ∂ A ∂ t + 1 2 { grad ( v ⋅ A ) + rot v × A + rot A × v − rot ( v × A ) + v div A − A div v } {\displaystyle {\frac {\mathrm {D} {\boldsymbol {A}}}{\mathrm {D} t}}={\frac {\partial {\boldsymbol {A}}}{\partial t}}+{\frac {1}{2}}\left\{\operatorname {grad} ({\boldsymbol {v}}\cdot {\boldsymbol {A}})+\operatorname {rot} {\boldsymbol {v}}\times {\boldsymbol {A}}+\operatorname {rot} {\boldsymbol {A}}\times {\boldsymbol {v}}-\operatorname {rot} ({\boldsymbol {v}}\times {\boldsymbol {A}})+{\boldsymbol {v}}\,\operatorname {div} {\boldsymbol {A}}-{\boldsymbol {A}}\,\operatorname {div} {\boldsymbol {v}}\right\}} D v D t = ∂ v ∂ t + grad ( | v | 2 2 ) − v × rot v {\displaystyle {\frac {\mathrm {D} {\boldsymbol {v}}}{\mathrm {D} t}}={\frac {\partial {\boldsymbol {v}}}{\partial t}}+\operatorname {grad} \left({\frac {|{\boldsymbol {v}}|^{2}}{2}}\right)-{\boldsymbol {v}}\times \operatorname {rot} {\boldsymbol {v}}} エディントンのイプシロンを用いた導出エディントンのイプシロンの性質 ( a × b ) i = ∑ j k ε i j k a j b k ∑ k ε i j k ε k ℓ m = δ i ℓ δ j m − δ i m δ j ℓ {\displaystyle {\begin{aligned}({\boldsymbol {a}}\times {\boldsymbol {b}})_{i}&=\sum _{jk}\varepsilon _{ijk}a_{j}b_{k}\\\sum _{k}\varepsilon _{ijk}\varepsilon _{k\ell m}&=\delta _{i\ell }\delta _{jm}-\delta _{im}\delta _{j\ell }\end{aligned}}} ( v × rot v ) i = ∑ j k ε i j k v j ( rot v ) k = ∑ j k ε i j k v j ∑ ℓ m ε k ℓ m ∂ ∂ x ℓ v m = ∑ j ℓ m ( δ i ℓ δ j m − δ i m δ j ℓ ) v j ∂ ∂ x ℓ v m = ∑ m ( v m ∂ ∂ x i v m − v m ∂ ∂ x m v i ) = ( grad ( | v | 2 2 ) − v ⋅ ∇ v ) i {\displaystyle {\begin{aligned}({\boldsymbol {v}}\times \operatorname {rot} \,{\boldsymbol {v}})_{i}&=\sum _{jk}\varepsilon _{ijk}v_{j}(\operatorname {rot} \,{\boldsymbol {v}})_{k}\\&=\sum _{jk}\varepsilon _{ijk}v_{j}\sum _{\ell m}\varepsilon _{k\ell m}{\partial \over \partial x_{\ell }}v_{m}\\&=\sum _{j\ell m}(\delta _{i\ell }\delta _{jm}-\delta _{im}\delta _{j\ell })v_{j}{\partial \over \partial x_{\ell }}v_{m}\\&=\sum _{m}\left(v_{m}{\partial \over \partial x_{i}}v_{m}-v_{m}{\partial \over \partial x_{m}}v_{i}\right)\\&=\left(\operatorname {grad} \left({\frac {|{\boldsymbol {v}}|^{2}}{2}}\right)-{\boldsymbol {v}}\cdot \nabla {\boldsymbol {v}}\right)_{i}\end{aligned}}} D v D t = ∂ v ∂ t + v ⋅ ∇ v = ∂ v ∂ t + grad ( | v | 2 2 ) − v × rot v {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\mathrm {D} {\boldsymbol {v}}}{\mathrm {D} t}}&={\frac {\partial {\boldsymbol {v}}}{\partial t}}+{\boldsymbol {v}}\cdot \nabla {\boldsymbol {v}}\\&={\frac {\partial {\boldsymbol {v}}}{\partial t}}+\operatorname {grad} \left({\frac {|{\boldsymbol {v}}|^{2}}{2}}\right)-{\boldsymbol {v}}\times \operatorname {rot} {\boldsymbol {v}}\end{aligned}}} が得られる。
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