曲線直交座標系
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2017/01/18 08:45 UTC 版)
曲線直交座標系 r = r ( q 1 , q 2 , q 3 ) {\displaystyle {\boldsymbol {r}}={\boldsymbol {r}}(q^{1},q^{2},q^{3})} における対流項 v ⋅ ∇ A {\displaystyle {\boldsymbol {v}}\cdot \nabla {\boldsymbol {A}}} の j {\displaystyle j} 成分は以下のように与えられる。 [ v ⋅ ∇ A ] j = ∑ k { v k h k ∂ A j ∂ q k + A k h k h j ( v j ∂ h j ∂ q k − v k ∂ h k ∂ q j ) } {\displaystyle [{\boldsymbol {v}}\cdot \nabla {\boldsymbol {A}}]_{j}=\sum _{k}\left\{{\frac {v_{k}}{h_{k}}}{\frac {\partial A_{j}}{\partial q^{k}}}+{\frac {A_{k}}{h_{k}h_{j}}}\left(v_{j}{\frac {\partial h_{j}}{\partial q^{k}}}-v_{k}{\frac {\partial h_{k}}{\partial q^{j}}}\right)\right\}} h k = | ∂ r ∂ q k | = g k k {\displaystyle h_{k}=\left|{\partial {\boldsymbol {r}} \over \partial q^{k}}\right|={\sqrt {g_{kk}}}} （ g i j {\displaystyle g_{ij}} は計量テンソル）である。 先で述べたように [ ( v ⋅ grad ) A ] j = ∑ k v k ( 1 h k ∂ ∂ q k ) A j {\displaystyle [({\boldsymbol {v}}\cdot \operatorname {grad} ){\boldsymbol {A}}]_{j}=\sum _{k}v_{k}\left({\frac {1}{h_{k}}}{\frac {\partial }{\partial q^{k}}}\right)A_{j}} とはデカルト座標系 ( h 1 = h 2 = h 3 = 1 ) {\displaystyle (h_{1}=h_{2}=h_{3}=1)} においてのみ等しい。 A = v {\displaystyle {\boldsymbol {A}}={\boldsymbol {v}}} とした時の物質微分(＝加速度)の対流項に現れる第2項 ∑ k { v k h k h j ( v j ∂ h j ∂ q k − v k ∂ h k ∂ q j ) } {\displaystyle \sum _{k}\left\{{\frac {v_{k}}{h_{k}h_{j}}}\left(v_{j}{\frac {\partial h_{j}}{\partial q^{k}}}-v_{k}{\frac {\partial h_{k}}{\partial q^{j}}}\right)\right\}} は曲線直交座標系で現れる見かけの力に対応する。 実際、 L = m 2 ∑ k ( h k q ˙ k ) 2 {\displaystyle L={\frac {m}{2}}\sum _{k}(h_{k}{\dot {q}}^{k})^{2}} に対して ( d / d t ) ( ∂ L / ∂ q ˙ j ) − ( ∂ L / ∂ q j ) = 0 {\displaystyle ({\mathrm {d} /\mathrm {d} t})({\partial L/\partial {\dot {q}}^{j}})-({\partial L/\partial q^{j}})=0} を計算すると、 d v j d t − ∑ k { v k h k h j ( v j ∂ h j ∂ q k − v k ∂ h k ∂ q j ) } = 0 {\displaystyle {\mathrm {d} v_{j} \over \mathrm {d} t}-\sum _{k}\left\{{\frac {v_{k}}{h_{k}h_{j}}}\left(v_{j}{\partial h_{j} \over \partial q^{k}}-v_{k}{\partial h_{k} \over \partial q^{j}}\right)\right\}=0} が得られる。ただし、 v k = h k q ˙ k {\displaystyle v_{k}=h_{k}{\dot {q}}^{k}} であり、 h ˙ k = ∑ i ∂ h k ∂ q i q ˙ i {\displaystyle {\dot {h}}_{k}=\sum _{i}{\partial h_{k} \over \partial q^{i}}{\dot {q}}^{i}} を使う。
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