定積分
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2018/06/02 09:25 UTC 版)
定積分は汎函数の特殊なクラスを与える。例えば f ↦ I [ f ] = ∫ Ω H ( f ( x ) , f ′ ( x ) , … ) μ ( d x ) {\displaystyle f\mapsto I[f]=\int _{\Omega }H(f(x),f'(x),\ldots )\;\mu (dx)} の形の定積分は、H が実数値のとき、函数 f をある実数（積分値）へ写すので汎函数になっている。定積分が与える汎函数の例として 正値函数 f のグラフの下の部分の面積: f ↦ ∫ x 0 x 1 f ( x ) d x {\displaystyle f\mapsto \int _{x_{0}}^{x_{1}}f(x)\;dx} 函数のLp ノルム: f ↦ ( ∫ | f | p d x ) 1 / p {\displaystyle f\mapsto \left(\int |f|^{p}\;dx\right)^{1/p}} 2-次元ユークリッド空間内の曲線の弧の長さ: f ↦ ∫ x 0 x 1 1 + | f ′ ( x ) | 2 d x {\displaystyle f\mapsto \int _{x_{0}}^{x_{1}}{\sqrt {1+|f'(x)|^{2}}}\;dx} などを挙げることができる。
※この「定積分」の解説は、「汎函数」の解説の一部です。
「定積分」を含む「汎函数」の記事については、「汎函数」の概要を参照ください。
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