定積モル比熱と定圧モル比熱の関係
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/10/17 01:46 UTC 版)
「定圧過程」の記事における「定積モル比熱と定圧モル比熱の関係」の解説
理想気体を状態Aから状態Bに移行させる定積過程を考える。熱力学第一法則より Δ U = Q − W {\displaystyle {\begin{aligned}\Delta U=Q-W\end{aligned}}} ここでΔUは系の内部エネルギーの変化、Qは系に与えられた熱量、Wは系が外にした仕事である。 定圧過程では圧力が一定なので W = F Δ x = P S Δ x = P Δ V {\displaystyle {\begin{aligned}W=F\Delta x=PS\Delta x=P\Delta V\end{aligned}}} が成り立つ。 従って熱力学第一法則の式は Δ U = Q − P Δ V {\displaystyle {\begin{aligned}\Delta U=Q-P\Delta V\end{aligned}}} となるので熱量Qは Q = Δ U + P Δ V {\displaystyle {\begin{aligned}Q=\Delta U+P\Delta V\end{aligned}}} と表される。 ここで、定圧過程におけるモル比熱を定圧モル比熱と名付け、 c P {\displaystyle c_{P}} とすると比熱の定義より Q = n C P Δ T {\displaystyle {\begin{aligned}Q=nC_{P}\Delta T\end{aligned}}} となる。従って n C P Δ T = Δ U + P Δ V {\displaystyle {\begin{aligned}nC_{P}\Delta T=\Delta U+P\Delta V\end{aligned}}} ここで理想気体の状態方程式より ( P + Δ P ) ( V + Δ V ) = n R ( T + Δ T ) {\displaystyle {\begin{aligned}(P+\Delta P)(V+\Delta V)=nR(T+\Delta T)\end{aligned}}} が成り立つ。定圧過程では Δ P = 0 {\displaystyle \Delta P=0} なので、上の式を整理すると P Δ V = n R Δ T {\displaystyle {\begin{aligned}P\Delta V=nR\Delta T\end{aligned}}} となる。また定積モル比熱 c V {\displaystyle c_{V}} を用いるとΔUは Δ U = n C V Δ T {\displaystyle {\begin{aligned}\Delta U=nC_{V}\Delta T\end{aligned}}} となる。これらを先に求めた式に代入すると n C P Δ T = n C V Δ T + n R Δ T {\displaystyle {\begin{aligned}nC_{P}\Delta T=nC_{V}\Delta T+nR\Delta T\end{aligned}}} 従って定圧モル比熱と定積モル比熱の間には次の関係が成立する。 C P = C V + R {\displaystyle {\begin{aligned}C_{P}=C_{V}+R\end{aligned}}} この関係をマイヤーの法則という。
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