境界上での値が消える函数
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2020/01/08 16:07 UTC 版)
「ソボレフ空間」の記事における「境界上での値が消える函数」の解説
Ω を Rn の開集合とする。ソボレフ空間 W1,2(Ω) = H1(Ω) はヒルベルト空間で、重要な部分空間として Ω 上のコンパクト台付き無限回微分可能な函数全体の成す集合の H1(Ω) における閉包である H10(Ω) を含む。ソボレフノルムは上述のものを簡約して ‖ f ‖ H 1 = ( ∫ Ω ( | f | 2 + | ∇ f | 2 ) ) 1 / 2 {\displaystyle \|f\|_{H^{1}}=\left(\int _{\Omega }(|f|^{2}+|\nabla f|^{2})\right)^{\!\!1/2}} によって与えられる。Ω が正則な境界を持つとき、H10(Ω) は H1(Ω) に属する函数で境界上トレースの意味で消えているようなもの全体として記述することができる（後述）。n = 1 のとき、Ω = (a, b) を有界区間とすると、H10(a, b) は閉区間 [a, b] 上で定義される f ( x ) = ∫ a x f ′ ( t ) d t ( x ∈ [ a , b ] ) {\displaystyle f(x)=\int _{a}^{x}f'(t)dt\quad (x\in [a,b])} の形の連続函数全体から成る。ここで、一般化された微分 f′ は L2(a, b) に属し、f(b) = f(a) = 0 となるように積分値が 0 となるものである。Ω が有界であるとき、ポワンカレ不等式によれば定数 C = C(Ω) が存在して、常に ∫ Ω | f | 2 ≤ C 2 ∫ Ω | ∇ f | 2 , f ∈ H 0 1 ( Ω ) {\displaystyle \int _{\Omega }|f|^{2}\leq C^{2}\,\int _{\Omega }|\nabla f|^{2},\quad f\in H_{0}^{1}(\Omega )} とすることができる。Ω 有界であるとき H10(Ω) から L2(Ω) への単射はコンパクトである。この事実はディリクレ問題の研究や、ディリクレ境界条件におけるラプラス作用素の固有ベクトルからなる L2(Ω) の正規直交基底が存在するという事実において重要な役割を果たす。
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