円形膜の振動問題の解は、常に円板上のラプラス演算子 の固有関数である。
固有関数 （こゆうかんすう 英 : characteristic function, eigen function ）とは、その解に対してある条件がある微分方程式 の固有値問題 においてある固有値 に対応した解を言う。[ 1]
量子力学 では、波動関数
Ψ
{\displaystyle \left.\Psi \right.}
演算子
A
^
{\displaystyle \left.{\hat {A}}\right.}
Ψ
{\displaystyle \left.\Psi \right.}
A
^
{\displaystyle \left.{\hat {A}}\right.}
固有関数 であるという。[ 2]
A
^
Ψ
=
a
Ψ
{\displaystyle \left.{\hat {A}}\Psi =a\Psi \right.}
ここで
a
{\displaystyle \left.a\right.}
固有値 と呼ばれ、演算子ではない通常の数であり、一般に複素数 である。また上式は固有方程式 とよばれ、上式のように波動関数が演算子の固有関数である時、期待値
⟨
A
⟩
^
{\displaystyle \langle }{\hat {A\rangle }}
a
{\displaystyle a}
[ 3]
A
^
{\displaystyle \left.{\hat {A}}\right.}
エルミート性 ）。
2つの演算子
A
^
,
B
^
{\displaystyle \left.{\hat {A}},{\hat {B}}\right.}
交換関係
[
A
^
,
B
^
]
≡
A
^
B
^
−
B
^
A
^
{\displaystyle \left.[{\hat {A}},{\hat {B}}]\equiv {\hat {A}}{\hat {B}}-{\hat {B}}{\hat {A}}\right.}
を定義する。この値が0である時、「それらの演算子は交換する」と言う。2つの演算子が交換するならば、それらは同一の固有関数を持つ（同時固有関数）。そしてそれらに対応した物理量は同時測定可能である。
例えば、観測される位置
x
{\displaystyle \left.x\right.}
p
{\displaystyle \left.p\right.}
x
^
,
p
^
{\displaystyle {\hat {x}},{\hat {p}}}
不確定性関係 ）。実験的には、「物体の位置を正確に計ろうとするとその物体の運動量を変化させてしまい、また運動量を正確に計ろうとすると物体の位置を変化させてしまう。結果的に位置と運動量を同時に測定する事は出来なくなる」事に対応する。これは実験技術の問題ではなく、原理的に同時測定不可能である。
この時、波動関数には何が起こっているかを説明する。物体の位置を正確に計ろうとする実験とは、演算子
x
^
{\displaystyle \left.{\hat {x}}\right.}
x
^
{\displaystyle \left.{\hat {x}}\right.}
x
^
Ψ
=
x
Ψ
{\displaystyle \left.{\hat {x}}\Psi =x\Psi \right.}
しかしその関数は運動量
p
^
{\displaystyle \left.{\hat {p}}\right.}
p
^
Ψ
≠
p
Ψ
{\displaystyle \left.{\hat {p}}\Psi \neq p\Psi \right.}
この時、波動関数
Ψ
{\displaystyle \left.\Psi \right.}
p
{\displaystyle \left.p\right.}
Ψ
=
Ψ
(
p
=
0.0
[
k
g
⋅
m
/
s
]
)
+
Ψ
(
p
=
0.0001
⋯
)
+
⋯
{\displaystyle \left.\Psi =\Psi _{(p=0.0[kg\cdot m/s])}+\Psi _{(p=0.0001\cdots )}+\cdots \right.}
固有関数の物理的意味は「定在波 」だと考えてそれほど差し支えない。例えばシュレーディンガー方程式
H
^
Ψ
=
E
Ψ
{\displaystyle {\hat {H}}\Psi =E\Psi }
はハミルトニアン
H
^
{\displaystyle \left.{\hat {H}}\right.}
E
{\displaystyle \left.E\right.}
E
{\displaystyle \left.E\right.}
t
{\displaystyle \left.t\right.}
[要出典
自由な粒子のハミルトニアン演算子 に対する固有値問題 は、
p
2
2
m
^
φ
(
r
)
=
ϵ
φ
(
r
)
{\displaystyle {}{\hat {p^{2} \over 2m}}\varphi (r)=\epsilon \varphi (r)}
運動量演算子 の固有値問題
p
^
φ
(
r
)
=
ℏ
k
φ
(
r
)
{\displaystyle {\hat {p}}\varphi (r)=\hbar k\varphi (r)}
p
^
2
2
m
φ
(
r
)
=
ℏ
2
k
2
2
m
φ
(
r
)
{\displaystyle {{\hat {p}}^{2} \over 2m}\varphi (r)={\hbar ^{2}k^{2} \over 2m}\varphi (r)}
ハミルトニアン の固有関数になっている。このような固有関数を同時固有関数 と呼ぶ。[ 4]
2つの演算子
A
^
,
B
^
{\displaystyle \left.{\hat {A}},{\hat {B}}\right.}
交換関係
[
A
^
,
B
^
]
≡
A
^
B
^
−
B
^
A
^
{\displaystyle \left.[{\hat {A}},{\hat {B}}]\equiv {\hat {A}}{\hat {B}}-{\hat {B}}{\hat {A}}\right.}
を定義する。この値が0である時、「それらの演算子は交換する」と言う。2つの演算子が交換するならば、それらは同時固有関数 である。
^ “コトバンク ”. 2025年7月29日閲覧。 ^ “大学物理のフットノート ”. 2025年7月29日閲覧。 ^ “化学徒の備忘録 ”. 2025年7月29日閲覧。 ^ “武内修@筑波大 ”. 2025年7月29日閲覧。
![{\displaystyle \left.[{\hat {A}},{\hat {B}}]\equiv {\hat {A}}{\hat {B}}-{\hat {B}}{\hat {A}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4bae2435a2a528cbfd13fdda6627822dd3b880cc)
![{\displaystyle \left.\Psi =\Psi _{(p=0.0[kg\cdot m/s])}+\Psi _{(p=0.0001\cdots )}+\cdots \right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e6439886dae91ee71baabf905e565f0350e63ace)
全ての辞書から固有関数
を検索
