半周長を用いる公式
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2019/07/07 02:31 UTC 版)
この節の中では半周長を s で表す。 三角形の面積を S とする。三角形の面積は、内接円の半径 r と半周長の積に等しい。 S = r s {\displaystyle S=rs} 三角形の面積は、三辺の長さを a, b, c としたときヘロンの公式によって以下のように表すことができる。 S = s ( s − a ) ( s − b ) ( s − c ) {\displaystyle S={\sqrt {s\left(s-a\right)\left(s-b\right)\left(s-c\right)}}} 外接円の半径 R は、半周長と3辺の長さを用いて以下のように表すことができる。 R = a b c 4 s ( s − a ) ( s − b ) ( s − c ) {\displaystyle R={\frac {abc}{4{\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}}}} この式は正弦定理から導くことができる。 内接円の半径は r = ( s − a ) ( s − b ) ( s − c ) s {\displaystyle r={\sqrt {\frac {(s-a)(s-b)(s-c)}{s}}}} となる。 余接定理（英語版）は、半分の角度の余接（コタンジェント）を半周長と3辺の長さと内接円の半径から求める定理である。 角の二等分線の長さは以下の式で求めることができる。 t a = 2 b c s ( s − a ) b + c {\displaystyle t_{a}={\frac {2{\sqrt {bcs(s-a)}}}{b+c}}} 直角三角形において、斜辺に接する傍接円の半径は半周長に等しい。また、半周長は外接円の半径の2倍と内接円の半径の和に等しい。直角三角形の直角を挟む2辺の長さを a, b とすると、面積は ( s − a ) ( s − b ) {\displaystyle (s-a)(s-b)} となる。 単位球において、3辺の長さが a, b, c である球面三角形の球過量 E はリュイリエの公式によって以下のように表すことができる。 E = 4 tan − 1 tan s 2 tan s − a 2 tan s − b 2 tan s − c 2 {\displaystyle E=4\tan ^{-1}{\sqrt {\tan {\frac {s}{2}}\tan {\frac {s-a}{2}}\tan {\frac {s-b}{2}}\tan {\frac {s-c}{2}}}}}
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