包絡代数とは? わかりやすく解説

包絡環

(包絡代数 から転送)

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2017/07/15 05:49 UTC 版)

包絡環包絡代数 (enveloping algebra)




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包絡代数

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2022/06/15 02:26 UTC 版)

リー代数の表現」の記事における「包絡代数」の解説

体 k 上の任意のリー代数 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} に対し、 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} の普遍包絡代数呼ばれるある環を関連させることができる。(PBW定理に従うと、)構成普遍的結論的には、 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} の表現は、 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} の普遍包絡代数代数表現英語版)(algebra representation)と 1 対 1対応する。この構成次のうになる。 T をベクトル空間 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} のテンソル代数とする。定義により、 T = ⊕ n = 0 ∞ ⊗ 1 n g {\displaystyle T=\oplus _{n=0}^{\infty }\otimes _{1}^{n}{\mathfrak {g}}} とこの積は、 ⊗ {\displaystyle \otimes } で与えられる。 U ( g ) {\displaystyle U({\mathfrak {g}})} を元 [ x , y ] − x ⊗ y + y ⊗ x {\displaystyle [x,y]-x\otimes y+y\otimes x} により生成されるイデアル割った商環 とする。 U ( g ) {\displaystyle U({\mathfrak {g}})} は体 k 上の結合代数であるので、交換子 [ x , y ] = x yy x {\displaystyle [x,y]=xy-yx} ( ⊗ {\displaystyle \otimes } を省略して記載した)を通してリー代数とすることができる。リー代数には T → U ( g ) {\displaystyle T\to U({\mathfrak {g}})} をひとつのピース次数制限することにより標準的な射 g → U ( g ) {\displaystyle {\mathfrak {g}}\to U({\mathfrak {g}})} が存在するPBW定理英語版)(PBW theorem)は、標準的な射は実際単射であることを意味している。 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} がアーベル的ならば、 U ( g ) {\displaystyle U({\mathfrak {g}})} はベクトル空間 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} の対称代数となる。 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} は随伴表現通して自分自身の上加群であるので、包絡代数 U ( g ) {\displaystyle U({\mathfrak {g}})} は随伴表現拡張することで、 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} -加群となる。しかし、左と右の正則表現使い、包絡代数を g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} -加群とすることができる。つまり、記法 l x ( y ) = x y , x ∈ g , y ∈ U ( g ) {\displaystyle l_{x}(y)=xy,x\in {\mathfrak {g}},y\in U({\mathfrak {g}})} により、写像 x ↦ l x {\displaystyle x\mapsto l_{x}} は U ( g ) {\displaystyle U({\mathfrak {g}})} の上の g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} の表現定義する右正則表現同様に定義される

※この「包絡代数」の解説は、「リー代数の表現」の解説の一部です。
「包絡代数」を含む「リー代数の表現」の記事については、「リー代数の表現」の概要を参照ください。

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