複素ベクトル束
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出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2020/03/21 17:28 UTC 版)
ナビゲーションに移動 検索に移動数学において、複素ベクトル束（ふくそベクトルそく、英: complex vector bundle）は、ファイバーが複素ベクトル空間であるようなベクトル束である。
任意の複素ベクトル束はスカラーの制限によって実ベクトル束と見ることができる。逆に、任意の実ベクトル束 E は複素化
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共役束
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2020/03/21 17:28 UTC 版)
E が複素ベクトル束であれば、E の共役束 (conjugate bundle) E ¯ {\displaystyle {\overline {E}}} は数の複素共役を通して作用する複素数を持つことによって得られる。したがって、下にある実ベクトル束の恒等写像： E R → E ¯ R = E R {\displaystyle E_{\mathbb {R} }\to {\overline {E}}_{\mathbb {R} }=E_{\mathbb {R} }} は共役線型であり、E とその共役 E は実ベクトル束として同型である。 E ¯ {\displaystyle {\overline {E}}} の k-次チャーン類は c k ( E ¯ ) = ( − 1 ) k c k ( E ) {\displaystyle c_{k}({\overline {E}})=(-1)^{k}c_{k}(E)} によって与えられる。特に、E と E は一般には同型でない。 E がエルミート計量を持っていれば、共役束 E は計量を通して双対束 E ∗ = Hom ( E , O ) {\displaystyle E^{*}=\operatorname {Hom} (E,{\mathcal {O}})} に同型である、ただし O {\displaystyle {\mathcal {O}}} は自明複素直線束である。 E が実ベクトル束であれば、E の複素化の下にある実ベクトル束は E の 2 つのコピーの直和である： ( E ⊗ C ) R = E ⊕ E {\displaystyle (E\otimes \mathbb {C} )_{\mathbb {R} }=E\oplus E} （なぜならば任意の実ベクトル空間 V に対して V⊗RC = V⊕iV だから）。複素ベクトル束 E が実ベクトル束 E' の複素化であれば、E' は E の実形式（英語版）と呼ばれ（1つよりも多くの実形式があるかもしれない）E は実数上定義されていると言われる。E が実形式を持てば、E はその共役に同型であり（なぜならばそれらは両方実形式の 2 つのコピーの和であるから）、したがって E の奇チャーン類は位数 2 を持つ。
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