共役束とは? わかりやすく解説

複素ベクトル束

(共役束 から転送)

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2020/03/21 17:28 UTC 版)

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数学において、複素ベクトル束(ふくそベクトルそく、: complex vector bundle)は、ファイバーが複素ベクトル空間であるようなベクトル束である。

任意の複素ベクトル束はスカラーの制限英語版によって実ベクトル束と見ることができる。逆に、任意の実ベクトル束 E複素化英語版

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共役束

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複素ベクトル束」の記事における「共役束」の解説

E が複素ベクトル束であれば、E の共役束 (conjugate bundle) E ¯ {\displaystyle {\overline {E}}} は数の複素共役通して作用する複素数を持つことによって得られる。したがって、下にある実ベクトル束恒等写像E R → E ¯ R = E R {\displaystyle E_{\mathbb {R} }\to {\overline {E}}_{\mathbb {R} }=E_{\mathbb {R} }} は共役線型であり、E とその共役 E は実ベクトル束として同型である。 E ¯ {\displaystyle {\overline {E}}} の k-次チャーン類c k ( E ¯ ) = ( − 1 ) k c k ( E ) {\displaystyle c_{k}({\overline {E}})=(-1)^{k}c_{k}(E)} によって与えられる。特に、E と E は一般に同型でない。 E がエルミート計量持っていれば、共役束 E は計量通して双対束 E ∗ = Hom ⁡ ( E , O ) {\displaystyle E^{*}=\operatorname {Hom} (E,{\mathcal {O}})} に同型である、ただし O {\displaystyle {\mathcal {O}}} は自明複素直線束である。 E が実ベクトル束であれば、E の複素化の下にある実ベクトル束は E の 2 つコピー直和である: ( E ⊗ C ) R = E ⊕ E {\displaystyle (E\otimes \mathbb {C} )_{\mathbb {R} }=E\oplus E} (なぜならば任意の実ベクトル空間 V に対して V⊗RC = ViV だから)。複素ベクトル束 E が実ベクトル束 E'複素であればE' は E の実形式(英語版)と呼ばれ1つよりも多く実形式があるかもしれない)E は実数定義されていると言われる。E が実形式を持てば、E はその共役同型であり(なぜならばそれらは両方実形式の 2 つコピーの和であるから)、したがって E の奇チャーン類位数 2 を持つ。

※この「共役束」の解説は、「複素ベクトル束」の解説の一部です。
「共役束」を含む「複素ベクトル束」の記事については、「複素ベクトル束」の概要を参照ください。

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