両側閉圏と対称圏

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両側閉圏と対称圏

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2017/01/06 06:31 UTC 版)

「モノイド閉圏」の記事における「両側閉圏と対称圏」の解説

厳密に言えば、前節で定義したのは右閉モノイド圏 (right closed monoidal category) である（任意対象のテンソル右乗が右随伴を持つことしか要求していない）。同様に左閉 (left closed) であることを、任意の対象 A によるテンソル左乗函手 B ↦ A ⊗ B が右随伴 B ↦ (B ⇐ A) を持つことと定義する。 定義 両側閉モノイド圏（双閉モノイド圏）とは、左閉かつ右閉なモノイド圏を言う。 対称モノイド圏（英語版）が左閉であるための必要十分条件は、それが右閉であることである。したがって、「対称閉モノイド圏」というときにはそれが左閉であるか右閉であるかに言及することを要しない。実は、これはより一般の組み紐付きモノイド圏（英語版） に対して正しい。実際、組み紐関係子はモノイド積 A ⊗ B を B ⊗ A と自然同型にするから、テンソル右乗と左乗を区別することは意味を成さない。つまりこの自然な方法で任意の右モノイド閉圏を左閉に、あるいはまたその逆に、することができる。 上ではモノイド閉圏を特別な性質を満たすモノイド圏として記述した。それと同値な定義として、特別な性質を満たす閉圏（英語版）として定めることもできる。つまり、内部 Hom 函手に対して、その左随伴となるモノイド積の存在を定義として課すのである。それが故に、閉モノイド圏はモノイド閉圏 (monoidal closed categories) とも呼ばれる。