三角級数の直交性
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/03/07 07:47 UTC 版)
フーリエ級数のようなものが考えられる背景には、関数の直交性がある。 (−π, π) 上で定義された二乗可積分関数の空間 L2(−π, π) を考える。 f(x), g(x) ∈ L2(−π, π) に対して、内積 ⟨ f ( x ) , g ( x ) ⟩ := 1 π ∫ − π π f ( x ) g ( x ) ∗ d x {\displaystyle \left\langle f(x),g(x)\right\rangle :={1 \over \pi }\int _{-\pi }^{\pi }f(x)g(x)^{*}dx} g(x)* は g(x) の複素共役であり、実数値のときは、g(x) と等しい を定義すると、自然数 m, n ≥ 1 に対し ⟨ cos m x , cos n x ⟩ = δ m n ⟨ sin m x , sin n x ⟩ = δ m n ⟨ cos m x , sin n x ⟩ = 0 ⟨ 1 , 1 ⟩ = 2 ⟨ 1 , cos m x ⟩ = 0 ⟨ 1 , sin m x ⟩ = 0 {\displaystyle {\begin{aligned}\langle \cos mx,\cos nx\rangle &=\delta _{mn}\\\langle \sin mx,\sin nx\rangle &=\delta _{mn}\\\langle \cos mx,\sin nx\rangle &=0\\\langle 1,1\rangle &=2\\\langle 1,\cos mx\rangle &=0\\\langle 1,\sin mx\rangle &=0\end{aligned}}} ただし、δmn はクロネッカーのデルタで、内積の中に用いられている 1 というのは、x に依らずに 1 を値にとる定数関数の事とする。 このような関係から { 1 2 , cos x , sin x , cos 2 x , sin 2 x , cos 3 x , sin 3 x , … } {\displaystyle \left\{{1 \over {\sqrt {2}}},\cos x,\sin x,\cos 2x,\sin 2x,\cos 3x,\sin 3x,\ldots \right\}} は正規直交関数列となり、これは L2(−π, π) の正規直交基底になっている。 a n = ⟨ f ( x ) , cos n x ⟩ b n = ⟨ f ( x ) , sin n x ⟩ {\displaystyle {\begin{aligned}a_{n}&=\langle f(x),\cos nx\rangle \\b_{n}&=\langle f(x),\sin nx\rangle \end{aligned}}} という計算によって、それぞれ、フーリエ級数の cos nx, sin nx の係数のみを抜き出すことができる。 また、任意の自然数 m について ⟨ f ( x ) , cos m x ⟩ = 0 ⟨ f ( x ) , sin m x ⟩ = 0 {\displaystyle {\begin{aligned}\langle f(x),\cos mx\rangle &=0\\\langle f(x),\sin mx\rangle &=0\end{aligned}}} が成り立てば、 f(x) = 0 となるため、この直交関数列は完備関数列でもあり、この内積によって、 L2(−π, π) は、ヒルベルト空間になる。 複素型のフーリエ級数の場合も、整数 m, n に対して ⟨ e i m x , e i n x ⟩ = 2 π δ m n {\displaystyle \langle e^{imx},e^{inx}\rangle =2\pi \delta _{mn}} という直交関係がなりたち、{eimx} は完備関数列になる。
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