一般五次方程式の解
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/10/16 03:58 UTC 版)
まず、ブリング–ジェラード標準形の任意の多項式 x 5 + p x + q {\displaystyle x^{5}+px+q} の根はブリング根を用いて − p 5 4 BR ( − 1 4 ( − 5 p ) 5 4 q ) {\displaystyle {\sqrt[{4}]{-{\frac {p}{5}}}}\,\operatorname {BR} \!{\Big (}{-{\frac {1}{4}}}{\Bigl (}{-{\frac {5}{p}}}{\Bigr )}^{\frac {5}{4}}q{\Bigr )}} と書けるものとその四つの代数共軛元（英語版）である。 上で見たように、ブリング–ジェラード標準形への帰着は求根可能な多項式方程式によって記述されていたし、そのためのチルンハウス変換では四次以下の方程式の根を係数とする多項式しか現れていなかったから、したがって、これらの変換を逆にたどることは冪根で解ける多項式の求根という形で実現できるということがわかる。もちろんこのように変換を逆にたどろうとする方法では無関係で余分な解も出てくることになるが、数値的な方法で正しい解を一つ見つけられるならば、その根を平方根・立方根およびブリング根によって書き下すこともできるということだから、したがってそれは一変数の代数函数を用いて書けるという意味で「代数的解」であり、これで五次の一般方程式に対する代数的解法（「解の公式」）が与えられたとみることができる。
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