ポアンカレ円板上の計量と体積要素
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/05/05 07:54 UTC 版)
「ポワンカレ計量」の記事における「ポアンカレ円板上の計量と体積要素」の解説
ポアンカレ円板模型におけるポアンカレ計量テンソルは、単位円板 U = {z = x + iy : |z| = √x2 + y2 < 1 } 上に d s 2 = d x 2 + d y 2 ( 1 − ( x 2 + y 2 ) ) 2 = d z d z ¯ ( 1 − | z | 2 ) 2 {\displaystyle ds^{2}={\frac {dx^{2}+dy^{2}}{(1-(x^{2}+y^{2}))^{2}}}={\frac {dz\,d{\bar {z}}}{(1-|z|^{2})^{2}}}} で与えられる。対応する体積形式は d μ = d x d y ( 1 − ( x 2 + y 2 ) ) 2 = d x d y ( 1 − | z | 2 ) 2 {\displaystyle d\mu ={\frac {dx\,dy}{(1-(x^{2}+y^{2}))^{2}}}={\frac {dx\,dy}{(1-|z|^{2})^{2}}}} である。このポアンカレ計量は、z1, z2 ∈ U に対して ρ ( z 1 , z 2 ) = tanh − 1 | z 1 − z 2 1 − z 1 z ¯ 2 | {\displaystyle \rho (z_{1},z_{2})=\tanh ^{-1}\left|{\frac {z_{1}-z_{2}}{1-z_{1}{\bar {z}}_{2}}}\right|} と書くことができる。 この計量テンソルに対する測地線は、円板の境界上にある端点において円板の境界と直交するような円弧である。
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