二個の平方数の和 （にこのへいほうすうのわ）は「平方数 」、「多角数定理 」などの補遺に当たる。ここに示す事実は古くから知られている[ 1] 定理 [ 2] フェルマーの最終定理 とは異なる）などと呼ばれる。
4を法として1に合同な素数 は二個の平方数 の和で表される。
定理 ― 奇素数 p が整数 x と y を用いて、
p
=
x
2
+
y
2
{\displaystyle p=x^{2}+y^{2}}
と表されるのは、
p
≡
1
(
mod
4
)
.
{\displaystyle p\equiv 1{\pmod {4}}.}
の時に限る。また、逆も成り立つ。そして、この分解は一意的である。
合成数 が高々二個の平方数の和で表されるための必要十分条件 は、4を法として3に合同な素因数 が全て平方（冪指数 が偶数 ）になっていることである。この定理は、フェルマー によって提起され、オイラー によって解決された。
具体的に4を法として1に合同な素数 とは 5 , 13 , 17 , 29 , 37 , 41 , 53 , 61 , 73 , 89 , 97 , 101 , 109 ,
⋯
{\displaystyle \cdots }
オンライン整数列大辞典 の数列 A002144 )
平方剰余の相互法則 の補充法則により、
p
≡
1
(
mod
4
)
{\displaystyle p\equiv 1\;(\operatorname {mod} \;4)}
r
2
≡
−
1
(
mod
p
)
{\displaystyle r^{2}\equiv -1\;(\operatorname {mod} \;p)}
となる自然数
r
{\displaystyle r}
0
≤
x
i
,
y
i
<
p
{\displaystyle 0\leq {x_{i},y_{i}}<{\sqrt {p}}}
(
x
i
,
y
i
)
{\displaystyle (x_{i},y_{i})}
(
⌊
p
⌋
+
1
)
2
>
p
{\displaystyle (\lfloor {\sqrt {p}}\rfloor +1)^{2}>p}
(
x
1
,
y
1
)
≠
(
x
2
,
y
2
)
{\displaystyle (x_{1},y_{1})\neq (x_{2},y_{2})}
x
1
−
r
y
1
≡
x
2
−
r
y
2
(
mod
p
)
{\displaystyle {x_{1}-ry_{1}}\equiv {x_{2}-ry_{2}}\;(\operatorname {mod} \;p)}
となるものが存在する。
x
=
|
x
1
−
x
2
|
,
y
=
|
y
1
−
y
2
|
{\displaystyle x=|x_{1}-x_{2}|,y=|y_{1}-y_{2}|}
x
2
≡
r
2
y
2
≡
−
y
2
(
mod
p
)
x
2
+
y
2
≡
0
(
mod
p
)
{\displaystyle {\begin{aligned}&{x^{2}}\equiv {r^{2}y^{2}}\equiv {-y^{2}}\;(\operatorname {mod} \;p)\\&{x^{2}+y^{2}}\equiv 0\;(\operatorname {mod} \;p)\end{aligned}}}
である。
x
,
y
<
p
{\displaystyle x,y<{\sqrt {p}}}
0
<
x
2
+
y
2
<
2
p
{\displaystyle 0<x^{2}+y^{2}<2p}
であり、故に
x
2
+
y
2
=
p
{\displaystyle x^{2}+y^{2}=p}
である。
p
=
x
2
+
y
2
,
q
=
x
′
2
+
y
′
2
{\displaystyle p=x^{2}+y^{2},q=x'^{2}+y'^{2}}
2
p
=
2
(
x
2
+
y
2
)
=
(
x
−
y
)
2
+
(
x
+
y
)
2
p
q
=
(
x
2
+
y
2
)
(
x
′
2
+
y
′
2
)
=
(
x
x
′
−
y
y
′
)
2
+
(
x
y
′
+
y
x
′
)
2
r
2
p
=
r
2
(
x
2
+
y
2
)
=
(
r
x
)
2
+
(
r
y
)
2
{\displaystyle {\begin{aligned}&2p=2(x^{2}+y^{2})=(x-y)^{2}+(x+y)^{2}\\&pq=(x^{2}+y^{2})(x'^{2}+y'^{2})=(xx'-yy')^{2}+(xy'+yx')^{2}\\&r^{2}p=r^{2}(x^{2}+y^{2})=(rx)^{2}+(ry)^{2}\\\end{aligned}}}
であるから、十分条件については明らかである。必要条件については
A
=
x
2
+
y
2
{\displaystyle A=x^{2}+y^{2}}
p
≡
3
(
mod
4
)
{\displaystyle p\equiv 3\;(\operatorname {mod} \;4)}
背理法 ）。
p
|
A
{\displaystyle p|A}
A
=
p
a
=
x
2
+
y
2
{\displaystyle A=pa=x^{2}+y^{2}}
と書ける。ここで
p
|
x
{\displaystyle p|x}
p
|
y
{\displaystyle p|y}
p
2
|
A
{\displaystyle p^{2}|A}
p
2
{\displaystyle p^{2}}
p
⧸
|
x
{\displaystyle p\not |x}
x
x
−
1
≡
1
(
mod
p
)
{\displaystyle xx^{-1}\equiv 1\;(\operatorname {mod} \;p)}
x
−
1
{\displaystyle x^{-1}}
(
x
−
1
)
2
{\displaystyle (x^{-1})^{2}}
p
a
(
x
−
1
)
2
=
1
+
(
y
x
−
1
)
2
0
≡
1
+
(
y
x
−
1
)
2
(
mod
p
)
−
1
≡
(
y
x
−
1
)
2
(
mod
p
)
{\displaystyle {\begin{aligned}&pa(x^{-1})^{2}=1+(yx^{-1})^{2}\\&0\equiv {1+(yx^{-1})^{2}}\;(\operatorname {mod} \;p)\\&-1\equiv {(yx^{-1})^{2}}\;(\operatorname {mod} \;p)\\\end{aligned}}}
となる。しかし、これは
−
1
{\displaystyle -1}
p
≡
3
(
mod
4
)
{\displaystyle p\equiv 3\;(\operatorname {mod} \;4)}
p
≡
3
(
mod
4
)
{\displaystyle p\equiv 3\;(\operatorname {mod} \;4)}
ザギエ（Zagier）による一文証明（one-sentence proof）[ 3]
有限集合
S
=
{
(
x
,
y
,
z
)
∈
N
3
|
x
2
+
4
y
z
=
4
n
+
1
}
{\displaystyle S=\{(x,y,z)\in \mathbb {N} ^{3}|x^{2}+4yz=4n+1\}}
(
x
,
y
,
z
)
↦
{
(
x
+
2
z
,
z
,
y
−
x
−
z
)
,
if
x
<
y
−
z
(
2
y
−
x
,
y
,
x
−
y
+
z
)
,
if
y
−
z
<
x
<
2
y
(
x
−
2
y
,
x
−
y
+
z
,
y
)
,
if
x
>
2
y
{\displaystyle (x,y,z)\mapsto {\begin{cases}(x+2z,~z,~y-x-z),\quad {\textrm {if}}\,\,\,x<y-z\\(2y-x,~y,~x-y+z),\quad {\textrm {if}}\,\,\,y-z<x<2y\\(x-2y,~x-y+z,~y),\quad {\textrm {if}}\,\,\,x>2y\end{cases}}}
は必ず一個の不動点を持つから、集合
S
{\displaystyle S}
(
x
,
y
,
z
)
↦
(
x
,
z
,
y
)
{\displaystyle (x,y,z)\mapsto (x,z,y)}
も不動点を持つ。
対合とは
∀
a
∈
S
,
φ
(
φ
(
a
)
)
=
a
{\displaystyle \forall {a}\in {S},\varphi (\varphi (a))=a}
φ
{\displaystyle \varphi }
φ
(
e
)
=
e
{\displaystyle \varphi (e)=e}
e
{\displaystyle e}
(
1
,
1
,
n
)
∈
S
{\displaystyle (1,1,n)\in {S}}
4
n
+
1
{\displaystyle 4n+1}
(
1
,
1
,
n
)
{\displaystyle (1,1,n)}
S
{\displaystyle S}
(
x
,
y
,
z
)
↦
(
x
,
z
,
y
)
{\displaystyle (x,y,z)\mapsto (x,z,y)}
y
=
z
{\displaystyle y=z}
x
2
+
(
2
y
)
2
=
p
{\displaystyle x^{2}+(2y)^{2}=p}
2 +2y2
p
≡
1
,
3
(
mod
8
)
{\displaystyle p\equiv 1,3\;(\operatorname {mod} \;8)}
p
=
x
2
+
2
y
2
{\displaystyle p=x^{2}+2y^{2}}
x
2
+
2
y
2
{\displaystyle x^{2}+2y^{2}}
p
≡
1
,
2
,
3
(
mod
8
)
{\displaystyle p\equiv 1,2,3\;(\operatorname {mod} \;8)}
平方剰余の相互法則 の第一補充法則と第二補充法則により、
(
−
2
8
n
+
1
)
=
(
−
1
8
n
+
1
)
(
2
8
n
+
1
)
=
(
−
1
)
1
−
1
2
(
−
1
)
1
−
1
8
=
1
,
(
−
2
8
n
+
3
)
=
(
−
1
8
n
+
3
)
(
2
8
n
+
3
)
=
(
−
1
)
3
−
1
2
(
−
1
)
9
−
1
8
=
1
,
(
−
2
8
n
+
5
)
=
(
−
1
8
n
+
5
)
(
2
8
n
+
5
)
=
(
−
1
)
5
−
1
2
(
−
1
)
25
−
1
8
=
−
1
,
(
−
2
8
n
+
7
)
=
(
−
1
8
n
+
7
)
(
2
8
n
+
7
)
=
(
−
1
)
7
−
1
2
(
−
1
)
49
−
1
8
=
−
1
{\displaystyle {\begin{aligned}&\left({\frac {-2}{8n+1}}\right)=\left({\frac {-1}{8n+1}}\right)\left({\frac {2}{8n+1}}\right)=(-1)^{\frac {1-1}{2}}(-1)^{\frac {1-1}{8}}=1,\\&\left({\frac {-2}{8n+3}}\right)=\left({\frac {-1}{8n+3}}\right)\left({\frac {2}{8n+3}}\right)=(-1)^{\frac {3-1}{2}}(-1)^{\frac {9-1}{8}}=1,\\&\left({\frac {-2}{8n+5}}\right)=\left({\frac {-1}{8n+5}}\right)\left({\frac {2}{8n+5}}\right)=(-1)^{\frac {5-1}{2}}(-1)^{\frac {25-1}{8}}=-1,\\&\left({\frac {-2}{8n+7}}\right)=\left({\frac {-1}{8n+7}}\right)\left({\frac {2}{8n+7}}\right)=(-1)^{\frac {7-1}{2}}(-1)^{\frac {49-1}{8}}=-1\\\end{aligned}}}
であるから、
p
≡
1
,
3
(
mod
8
)
{\displaystyle p\equiv 1,3\;(\operatorname {mod} \;8)}
r
2
≡
−
2
(
mod
p
)
{\displaystyle r^{2}\equiv -2\;(\operatorname {mod} \;p)}
r
{\displaystyle r}
x
2
+
y
2
{\displaystyle x^{2}+y^{2}}
x
2
+
2
y
2
≡
0
(
mod
p
)
,
0
<
x
2
+
2
y
2
<
3
p
{\displaystyle {\begin{aligned}&x^{2}+2y^{2}\equiv 0\;(\operatorname {mod} \;p),\\&0<x^{2}+2y^{2}<3p\\\end{aligned}}}
となり、故に
x
2
+
2
y
2
=
f
p
(
f
≦
2
)
{\displaystyle x^{2}+2y^{2}=fp\quad (f\leqq 2)}
となる。
f
=
2
{\displaystyle f=2}
2
(
x
2
)
2
+
y
2
=
p
{\displaystyle 2\left({\frac {x}{2}}\right)^{2}+y^{2}=p}
となる。合成数については
x
2
+
y
2
{\displaystyle x^{2}+y^{2}}
2 +3y2
p
≡
1
,
7
(
mod
12
)
{\displaystyle p\equiv 1,7\;(\operatorname {mod} \;12)}
p
=
x
2
+
3
y
2
{\displaystyle p=x^{2}+3y^{2}}
x
2
+
3
y
2
{\displaystyle x^{2}+3y^{2}}
p
≡
1
,
3
,
7
(
mod
12
)
{\displaystyle p\equiv 1,3,7\;(\operatorname {mod} \;12)}
[ 4]
平方剰余の相互法則 と第一補充法則により、
(
−
3
12
n
+
1
)
=
(
−
1
12
n
+
1
)
(
3
12
n
+
1
)
=
(
−
1
12
n
+
1
)
(
12
n
+
1
3
)
=
1
,
(
−
3
12
n
+
5
)
=
(
−
1
12
n
+
5
)
(
3
12
n
+
5
)
=
(
−
1
12
n
+
5
)
(
12
n
+
5
3
)
=
−
1
,
(
−
3
12
n
+
7
)
=
(
−
1
12
n
+
7
)
(
3
12
n
+
7
)
=
(
−
1
12
n
+
7
)
(
12
n
+
7
3
)
=
1
,
(
−
3
12
n
+
11
)
=
(
−
1
12
n
+
11
)
(
3
12
n
+
11
)
=
(
−
1
12
n
+
11
)
(
12
n
+
11
3
)
=
−
1
{\displaystyle {\begin{aligned}&\left({\frac {-3}{12n+1}}\right)=\left({\frac {-1}{12n+1}}\right)\left({\frac {3}{12n+1}}\right)=\left({\frac {-1}{12n+1}}\right)\left({\frac {12n+1}{3}}\right)=1,\\&\left({\frac {-3}{12n+5}}\right)=\left({\frac {-1}{12n+5}}\right)\left({\frac {3}{12n+5}}\right)=\left({\frac {-1}{12n+5}}\right)\left({\frac {12n+5}{3}}\right)=-1,\\&\left({\frac {-3}{12n+7}}\right)=\left({\frac {-1}{12n+7}}\right)\left({\frac {3}{12n+7}}\right)=\left({\frac {-1}{12n+7}}\right)\left({\frac {12n+7}{3}}\right)=1,\\&\left({\frac {-3}{12n+11}}\right)=\left({\frac {-1}{12n+11}}\right)\left({\frac {3}{12n+11}}\right)=\left({\frac {-1}{12n+11}}\right)\left({\frac {12n+11}{3}}\right)=-1\\\end{aligned}}}
であるから、
p
≡
1
,
7
(
mod
12
)
{\displaystyle p\equiv 1,7\;(\operatorname {mod} \;12)}
r
2
≡
−
3
(
mod
p
)
{\displaystyle r^{2}\equiv -3\;(\operatorname {mod} \;p)}
r
{\displaystyle r}
x
2
+
y
2
{\displaystyle x^{2}+y^{2}}
x
2
+
3
y
2
≡
0
(
mod
p
)
,
0
<
x
2
+
3
y
2
<
4
p
{\displaystyle {\begin{aligned}&x^{2}+3y^{2}\equiv 0\;(\operatorname {mod} \;p),\\&0<x^{2}+3y^{2}<4p\\\end{aligned}}}
となり、故に
x
2
+
3
y
2
=
f
p
(
f
≦
3
)
{\displaystyle x^{2}+3y^{2}=fp\quad (f\leqq 3)}
となるが、法3で考えると
f
=
2
{\displaystyle f=2}
f
=
3
{\displaystyle f=3}
3
(
x
3
)
2
+
y
2
=
p
{\displaystyle 3\left({\frac {x}{3}}\right)^{2}+y^{2}=p}
となる。合成数については
x
2
+
y
2
{\displaystyle x^{2}+y^{2}}
2
|
(
x
2
+
3
y
2
)
{\displaystyle 2\,{\big |}\left(x^{2}+3y^{2}\right)}
x
,
y
{\displaystyle x,y}
4
|
(
x
2
+
3
y
2
)
,
8
⧸
|
(
x
2
+
3
y
2
)
{\displaystyle 4\,{\big |}\left(x^{2}+3y^{2}\right),8\not {\big |}\left(x^{2}+3y^{2}\right)}
自然数を高々二個の平方数の和で表す方法の数は、ヤコビの二平方定理
r
2
(
n
)
=
4
∑
2
∤
d
∣
n
(
−
1
)
d
−
1
2
{\displaystyle r_{2}(n)=4\sum _{2{\nmid }d{\mid }n}(-1)^{\frac {d-1}{2}}}
によって与えられる。ただし、シグマ記号は2で整除されないNの約数（1とNを含む）について和を取ることを表す。例えば、
r
2
(
25
)
=
4
(
(
−
1
)
1
−
1
2
+
(
−
1
)
5
−
1
2
+
(
−
1
)
25
−
1
2
)
=
12
{\displaystyle r_{2}(25)=4\left((-1)^{\frac {1-1}{2}}+(-1)^{\frac {5-1}{2}}+(-1)^{\frac {25-1}{2}}\right)=12}
であるが、実際に25を高々二個の平方数の和で表す方法は
25
=
(
±
5
)
2
+
0
2
=
0
2
+
(
±
5
)
2
=
(
±
4
)
2
+
(
±
3
)
2
=
(
±
3
)
2
+
(
±
4
)
2
{\displaystyle {\begin{aligned}25&=(\pm 5)^{2}+0^{2}\\&=0^{2}+(\pm 5)^{2}\\&=(\pm 4)^{2}+(\pm 3)^{2}\\&=(\pm 3)^{2}+(\pm 4)^{2}\\\end{aligned}}}
であり、符号と順序を区別すれば12個になる。
二個の平方数の和で表される自然数の分布について、いくつかの結果が知られている。 エトムント・ランダウ とシュリニヴァーサ・ラマヌジャン は独立に、 x 以下の自然数のうち二個の平方数の和で表される自然数の個数はある正の定数 c について漸近的に
c
x
/
log
x
{\displaystyle cx/{\sqrt {\log x}}}
となることを証明している。 c はランダウ・ラマヌジャンの定数 と呼ばれ、およそ 0.76422365358922066299069873125 であることが知られている（オンライン整数列大辞典 の数列 A064533 ）[ 5]
Conway, John Horton ; Guy, Richard K. (1996), The Book of Numbers , New York: Copernicus, pp. 146-147, 220-223,
ISBN 978-0-387-97993-9 高木貞治 「§37．x2 ＋y2 の解」『初等整数論講義』（第2版）共立出版、1971年10月15日。
ISBN 4-320-01001-9 。 Hardy, G. H. ; Wright, E. M. (2008) [1938], An Introduction to the Theory of Numbers , Revised by D. R. Heath-Brown and J. H. Silverman. Foreword by Andrew Wiles . (6th ed.), Oxford: Oxford University Press ,
ISBN 978-0-19-921986-5 , MR
2445243 ,
Zbl 1159.11001
