一文証明
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/03/07 19:14 UTC 版)
ザギエ（Zagier）による一文証明（one-sentence proof）は、一文で完結することもさりながら、平方剰余に関する知識を要求しないということも特筆に値する。 有限集合 S = { ( x , y , z ) ∈ N 3 | x 2 + 4 y z = 4 n + 1 } {\displaystyle S=\{(x,y,z)\in \mathbb {N} ^{3}|x^{2}+4yz=4n+1\}} 上の対合 ( x , y , z ) ↦ { ( x + 2 z , z , y − x − z ) , if x < y − z ( 2 y − x , y , x − y + z ) , if y − z < x < 2 y ( x − 2 y , x − y + z , y ) , if x > 2 y {\displaystyle (x,y,z)\mapsto {\begin{cases}(x+2z,~z,~y-x-z),\quad {\textrm {if}}\,\,\,x<y-z\\(2y-x,~y,~x-y+z),\quad {\textrm {if}}\,\,\,y-z<x<2y\\(x-2y,~x-y+z,~y),\quad {\textrm {if}}\,\,\,x>2y\end{cases}}} は必ず一個の不動点を持つから、集合 S {\displaystyle S} の元の個数は奇数であり、対合 ( x , y , z ) ↦ ( x , z , y ) {\displaystyle (x,y,z)\mapsto (x,z,y)} も不動点を持つ。 対合とは ∀ a ∈ S , φ ( φ ( a ) ) = a {\displaystyle \forall {a}\in {S},\varphi (\varphi (a))=a} となる写像 φ {\displaystyle \varphi } のことである。不動点とは φ ( e ) = e {\displaystyle \varphi (e)=e} となる元 e {\displaystyle e} のことであり、必ず一個の不動点を持つというのは ( 1 , 1 , n ) ∈ S {\displaystyle (1,1,n)\in {S}} を意味している。 4 n + 1 {\displaystyle 4n+1} が素数であることを仮定して、一文証明が主張する対合が実際に対合であること、そして ( 1 , 1 , n ) {\displaystyle (1,1,n)} の他に不動点が存在しないことの確認は読者に任せる。唯一の不動点を除き集合 S {\displaystyle S} の元は対合によって対になるから、元の個数は奇数である。従って、対合 ( x , y , z ) ↦ ( x , z , y ) {\displaystyle (x,y,z)\mapsto (x,z,y)} によって対にならない元が存在する。これは y = z {\displaystyle y=z} を意味し、ひいては x 2 + ( 2 y ) 2 = p {\displaystyle x^{2}+(2y)^{2}=p} を意味する。
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