x2+3y2
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/03/07 19:14 UTC 版)
p ≡ 1 , 7 ( mod 12 ) {\displaystyle p\equiv 1,7\;(\operatorname {mod} \;12)} の素数は p = x 2 + 3 y 2 {\displaystyle p=x^{2}+3y^{2}} で表される。合成数が x 2 + 3 y 2 {\displaystyle x^{2}+3y^{2}} で表されるための必要十分条件は、 p ≡ 1 , 3 , 7 ( mod 12 ) {\displaystyle p\equiv 1,3,7\;(\operatorname {mod} \;12)} 以外の素因数が全て平方になっていることである。これはオイラーの6n+1定理などと呼ばれる。この証明は以下によって与えられる。 平方剰余の相互法則と第一補充法則により、 ( − 3 12 n + 1 ) = ( − 1 12 n + 1 ) ( 3 12 n + 1 ) = ( − 1 12 n + 1 ) ( 12 n + 1 3 ) = 1 , ( − 3 12 n + 5 ) = ( − 1 12 n + 5 ) ( 3 12 n + 5 ) = ( − 1 12 n + 5 ) ( 12 n + 5 3 ) = − 1 , ( − 3 12 n + 7 ) = ( − 1 12 n + 7 ) ( 3 12 n + 7 ) = ( − 1 12 n + 7 ) ( 12 n + 7 3 ) = 1 , ( − 3 12 n + 11 ) = ( − 1 12 n + 11 ) ( 3 12 n + 11 ) = ( − 1 12 n + 11 ) ( 12 n + 11 3 ) = − 1 {\displaystyle {\begin{aligned}&\left({\frac {-3}{12n+1}}\right)=\left({\frac {-1}{12n+1}}\right)\left({\frac {3}{12n+1}}\right)=\left({\frac {-1}{12n+1}}\right)\left({\frac {12n+1}{3}}\right)=1,\\&\left({\frac {-3}{12n+5}}\right)=\left({\frac {-1}{12n+5}}\right)\left({\frac {3}{12n+5}}\right)=\left({\frac {-1}{12n+5}}\right)\left({\frac {12n+5}{3}}\right)=-1,\\&\left({\frac {-3}{12n+7}}\right)=\left({\frac {-1}{12n+7}}\right)\left({\frac {3}{12n+7}}\right)=\left({\frac {-1}{12n+7}}\right)\left({\frac {12n+7}{3}}\right)=1,\\&\left({\frac {-3}{12n+11}}\right)=\left({\frac {-1}{12n+11}}\right)\left({\frac {3}{12n+11}}\right)=\left({\frac {-1}{12n+11}}\right)\left({\frac {12n+11}{3}}\right)=-1\\\end{aligned}}} であるから、 p ≡ 1 , 7 ( mod 12 ) {\displaystyle p\equiv 1,7\;(\operatorname {mod} \;12)} であれば r 2 ≡ − 3 ( mod p ) {\displaystyle r^{2}\equiv -3\;(\operatorname {mod} \;p)} となる自然数 r {\displaystyle r} が存在する。 x 2 + y 2 {\displaystyle x^{2}+y^{2}} の場合の証明にならえば x 2 + 3 y 2 ≡ 0 ( mod p ) , 0 < x 2 + 3 y 2 < 4 p {\displaystyle {\begin{aligned}&x^{2}+3y^{2}\equiv 0\;(\operatorname {mod} \;p),\\&0<x^{2}+3y^{2}<4p\\\end{aligned}}} となり、故に x 2 + 3 y 2 = f p ( f ≦ 3 ) {\displaystyle x^{2}+3y^{2}=fp\quad (f\leqq 3)} となるが、法3で考えると f = 2 {\displaystyle f=2} はありえない。 f = 3 {\displaystyle f=3} の場合は両辺を3で除して 3 ( x 3 ) 2 + y 2 = p {\displaystyle 3\left({\frac {x}{3}}\right)^{2}+y^{2}=p} となる。合成数については x 2 + y 2 {\displaystyle x^{2}+y^{2}} の場合の証明に倣う。なお、 2 | ( x 2 + 3 y 2 ) {\displaystyle 2\,{\big |}\left(x^{2}+3y^{2}\right)} であれば、 x , y {\displaystyle x,y} は共に偶数か共に奇数であるが、奇数であれば 4 | ( x 2 + 3 y 2 ) , 8 ⧸ | ( x 2 + 3 y 2 ) {\displaystyle 4\,{\big |}\left(x^{2}+3y^{2}\right),8\not {\big |}\left(x^{2}+3y^{2}\right)} である。従って、素因数2の冪指数は偶数である。
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