パスカルの三角形の拡張
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/05/21 03:20 UTC 版)
「パスカルの三角形」の記事における「パスカルの三角形の拡張」の解説
パスカルの三角形は二次元以外に拡張が可能であり、一般に「パスカルの単体」と呼ばれる。 0次のものはただ一つの1である。これは0の0乗を表す。 1次のものは無数の1が並ぶ。これはただ一つの項 x を何乗しても係数は1で変わらないことを示す。 3次のものは三項展開における係数を三角錐状に並べたもので「パスカルのピラミッド（英語版）」「パスカルの四面体」「パスカルの三角錐」と呼ばれる（ただし、エジプトのギザの大ピラミッドは五面体で四角錐である）。パスカルの三角錐の頂点は1であり、それより下の段にはその上方に位置する三つの数の和を配置する。頂点から下る三本の辺にはそれぞれ無数の1が並ぶ。三つの側面はいずれもパスカルの三角形である。n 段目には x + y + z を n − 1 乗して展開した係数が三角形状に並ぶ。三角形の三つの頂点はいずれも1であり、三本の辺はいずれもパスカルの三角形の n 段目に等しい。三角錐の n 段目の数字の総和は 3n−1 である。 4次のものは五胞体状で3次元空間に描くことは不可能であるが、各段は三角錐状であるので描くことができる。三角錐の四つの頂点はいずれも1であり、六本の辺はいずれもパスカルの三角形の同じ段に等しく、四つの面はいずれもパスカルの三角錐の同じ段の三角形に等しい。三角錐の数字の総和は一辺の数字の総和の2乗に等しい。
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