シンプルゲーム
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/06/24 05:33 UTC 版)
N {\displaystyle N} を個人からなる空でない集合とする。 N {\displaystyle N} の部分集合を提携という。提携の集合 W {\displaystyle W} をシンプルゲーム (投票ゲーム) という（それぞれの提携に 1 または 0 の値を与える提携ゲームと考えることもできる）。ここでは W {\displaystyle W} は空集合でなく、かつ空集合を含まないと仮定する。 W {\displaystyle W} に属する提携は勝利提携、属さない提携は敗北提携という。シンプルゲーム W {\displaystyle W} が単調であるとは、任意の S ∈ W {\displaystyle S\in W} と S ⊆ T {\displaystyle S\subseteq T} について、 T ∈ W {\displaystyle T\in W} が成り立つことをいう。 W {\displaystyle W} がプロパーであるとは、任意の S ∈ W {\displaystyle S\in W} に対して N ∖ S ∉ W {\displaystyle N\setminus S\notin W} となることをいう。 W {\displaystyle W} が強いとは、任意の S ∉ W {\displaystyle S\notin W} に対して N ∖ S ∈ W {\displaystyle N\setminus S\in W} となることをいう。拒否権プレーヤーとは、すべての勝利提携に属する個人のことである。シンプルゲームが弱いとは、そのシンプルゲームが拒否権プレーヤーを含むことをいう。 W {\displaystyle W} が有限であるとは、ある有限集合 T ⊆ N {\displaystyle T\subseteq N} （キャリアと呼ばれることがある）が存在して、任意の提携 S {\displaystyle S} について S ∈ W {\displaystyle S\in W} と S ∩ T ∈ W {\displaystyle S\cap T\in W} が同値になることをいう。 X {\displaystyle X} を「選択肢」の集合とし、その濃度（要素数） # X {\displaystyle \#X} は最小でも2とする。ここで（強い、あるいは狭義の）選好とは、 X {\displaystyle X} 上の非対称的な関係、すなわち x ≻ y {\displaystyle x\succ y} (「 x {\displaystyle x} は y {\displaystyle y} より好まれる」の意) ならば、 y ⊁ x {\displaystyle y\not \succ x} となる関係 ≻ {\displaystyle \succ } を指す。選好 ≻ {\displaystyle \succ } が非循環的である、あるいはサイクルを含まないとは、任意の有限個の選択肢 x 1 , … , x m {\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{m}} について、もし x 1 ≻ x 2 {\displaystyle x_{1}\succ x_{2}} , x 2 ≻ x 3 {\displaystyle x_{2}\succ x_{3}} ,…, x m − 1 ≻ x m {\displaystyle x_{m-1}\succ x_{m}} ならば x m ⊁ x 1 {\displaystyle x_{m}\not \succ x_{1}} となることをいう。非循環的な関係は非対称的であるため、選好に該当することに注意しなければならない。 (選好) プロファイルとは、個人の選好 ≻ i p {\displaystyle \succ _{i}^{p}} の列 (リスト) p = ( ≻ i p ) i ∈ N {\displaystyle p=(\succ _{i}^{p})_{i\in N}} のことである。ここで、 x ≻ i p y {\displaystyle x\succ _{i}^{p}y} は個人 i {\displaystyle i} がプロファイル p {\displaystyle p} において、選択肢 x {\displaystyle x} を選択肢 y {\displaystyle y} より好むことを表している。
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