はいり‐ほう〔‐ハフ〕【背理法】
背理法
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2023/12/14 07:43 UTC 版)
背理法（はいりほう、英: proof by contradiction, reduction to the absurd, indirect proof, apagogical argument など、羅: reductio ad absurdum, RAA）とは、ある命題 P を証明したいときに、P が偽であることを仮定して、そこから矛盾を導くことによって、P が偽であるという仮定が誤り、つまり P は真であると結論付けることである[1]。帰謬法（きびゅうほう）とも言う。
背理法
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/06/08 03:29 UTC 版)
背理法（無限降下法）を用いた証明を以下に示す。 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}} が有理数であると仮定すると、 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}} は既約分数で表すことができる。すなわち、互いに素である（公約数を 1 以外に持たない）整数 M, N を用いて 2 = M N {\displaystyle {\sqrt {2}}={\frac {M}{N}}} (1) と表せる。(1) の両辺を2乗し分母を払うと 2 N 2 = M 2 . {\displaystyle 2N^{2}=M^{2}.} (2) (2) から M2 は偶数であり、ここから M は偶数であることを示すことができる。したがって M は整数 m を用いて以下のように表すことができる。 M = 2 m . {\displaystyle M=2m.} (3) (3) を (2) の式に代入して整理すると以下の関係を得る。 N 2 = 2 m 2 . {\displaystyle N^{2}=2m^{2}.} (4) (4) より N2 は偶数なので、N も偶数である。以上より、m, n ともに偶数であることが示されたが、これは m, n が互いに素であるという仮定に矛盾する。ゆえに、 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}} は無理数であることが示された。■ 無限降下法を意識した証明だと、m, n が M, N と同様に偶数であるといえ、(1) の右辺が何回でも 2 で約分できることになり、矛盾となる。
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