背理法を使わない方法
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/06/08 03:29 UTC 版)
背理法を用いずに証明することができる。ただし、その構想には、背理法による証明過程における、矛盾の発生した点から論理を始めるという点で、直観的ではなく、きわめて形式的である。 平方数の各素因数の個数は偶数個であることと、素因数分解の一意性を用いる。 任意の自然数 m, n に対して、m2, 2n2 の素因数 2 の個数はそれぞれ偶数、奇数である。 ゆえに、素因数分解の一意性により、m2 ≠ 2n2 ∴ 2 ≠ m n {\displaystyle {\sqrt {2}}\neq {\frac {m}{n}}} m, n の任意性より、 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}} は無理数である。■
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