漸近線 媒介変数表示された曲線の漸近線

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漸近線

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2024/05/08 14:27 UTC 版)

媒介変数表示された曲線の漸近線

(sec(t), cosec(t)) は、水平方向と垂直方向にそれぞれ2本ずつ漸近線を持つ。この曲線は x² + y² = (xy)² と陰関数表示できる。

媒介変数表示された平面曲線

$C\colon (\alpha ,\beta )\to \mathbb {R} ^{2},\;t\mapsto (x(t),y(t))$

を考える（ここで、α は −∞ でもよく β は ∞ でもよい）。曲線 C は無限遠点に向かう、すなわち

$\lim _{t\to \beta -}\|C(t)\|=\infty \quad {\text{i.e.}}\ \lim _{t\to \beta -}(x^{2}(t)+y^{2}(t))=\infty$

が成り立つことを仮定する。直線 l が曲線 C の漸近線であるとは、t → β− のとき点 C(t) と直線 l の距離が 0 に収束することと定義される。

一般に、点 C(t) = (x(t), y(t)) と直線 l : ax + by + c = 0 の距離は

${\frac {|ax(t)+by(t)+c|}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}$

で与えられるので、直線 l が曲線 C の漸近線であるとは、

$(**)\quad \lim _{t\to \beta -}(ax(t)+by(t)+c)=0$

が成り立つことと同値である。曲線の媒介変数表示は一意ではないが、漸近線の定義はその取り方に依らない。実際、γ(t) を媒介変数の取り換えとすると、(∗∗) は

$\lim _{t\to \beta -}(ax(\gamma (t))+by(\gamma (t))+c)=0$

と同値であるからである。

実一変数の実数値関数のグラフは、媒介変数表示された平面曲線の特別な場合と考えることができる。関数 y = f(x) のグラフは点 (x, f(x)) の集合であり、x を径数 t とすれば、径数付け（の一つ）

$(\alpha ,\beta )\rightarrow \mathbb {R} ^{2},\;t\mapsto (t,f(t))$

が得られる。

例えば、曲線 y = 1/x の右上の枝は媒介変数 t により x = t, y = 1/t (t > 0) と表示できる。まず、t → ∞ のとき x → ∞ であり、曲線上の点と x軸の距離 1/t は t → ∞ のとき 0 に収束する。したがって、x軸は曲線の漸近線である。また、t → 0+ のとき、y → ∞ であり、このとき曲線上の点と y軸の距離 t は 0 に収束する。したがって y軸も漸近線である。同様に、曲線の左下の枝も同じ2本の直線が漸近線であることが示される。

関数のグラフでは、垂直でない漸近線は x → ±∞ にそれぞれ高々1本ずつに限られるが、媒介変数表示から定まる一般の曲線は、垂直でない漸近線を3本以上持つこともあるし、1つの垂直な漸近線と2回以上交わる場合もある。