対数対数の概要

通常の対数 $log b x$ は真数 $x$ , 底 $b$ を実数として定義されるが、実数の対数からの類推により、複素数や行列などの様々な数に対してその対数が定義されている。

実数の対数 $log b x$ は、底 $b$ が $1$ でない正数であり ( $b \neq 1, b > 0$ )、真数 $x$ が正数である場合 ( $x > 0$ )^{[注釈 1]} について定義される。これらの条件を満たす対数は、ある $x$ と $b$ の組に対してただ一つに定まる。

実数の対数関数 $log b x$ は底 $b$ に対する指数関数 $b x$ の逆関数である。この性質はしばしば対数関数の定義として用いられるが、歴史的には対数の出現の方が指数関数よりも先である^[1]^{[注釈 2]}。

対数関数のグラフの底を変えたときの様子。緑の曲線は底が $10$ 、赤の曲線は底がネイピア数 $e \sim 2.7$ 、紫の曲線は底が $1.7$ の対数である（底 10 の対数は常用対数、底 $e$ の対数は自然対数と呼ばれる）。すべての曲線は点 $(1, 0)$ を通り、 $y$ 軸を漸近線に持つ。

脚注

注釈

^ この条件は真数条件と呼ばれる。
^ ネイピア数 $e$ のヤコブ・ベルヌーイによる発見が1683年であり、指数関数の発見もその頃である。詳細は指数関数#歴史と概観や O'Connor & Robertson 2001 を参照。
^ 数値計算をする上では
$\ln {\frac {1+x}{1-x}}=2\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n+1}}{2n+1}}\quad (|x|<1)$
を用いる方が収束が速く、さらに $(1 + x)/(1 - x)$ は任意の正の実数を表せる(クーラント & ロビンズ 2001, 対数に対する無限級数．数値計算)。