位置 位置の概要

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位置

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2023/07/11 21:11 UTC 版)

「位置」の語義については、ウィクショナリーの「位置」の項目をご覧ください。

概要

原点Oから物体の位置Pへのベクトル（位置ベクトル (position vector)）で表される。

通常は x, r, s で表され、O から P までの各軸に沿った直線距離に対応する^[1]。

${\displaystyle \mathbf {r} ={\overrightarrow {OP}}}$

3次元の空間曲線。位置ベクトル r はスカラー量 t によってパラメータ化される。r = a では、赤い線は曲線の接線であり、青い面は曲線の法線である。

3次元では、任意の3次元座標とそれに対応する基底ベクトルを使用して、空間内の点の位置を定義することができる。位置の座標の表し方を座標系という。よく使われるのは直交座標系であり、ほかに球面座標系や円柱座標系が使用されることもある。

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {r} (t)&\equiv \mathbf {r} \left(x,y,z\right)\equiv x(t)\mathbf {\hat {e}} _{x}+y(t)\mathbf {\hat {e}} _{y}+z(t)\mathbf {\hat {e}} _{z}\\&\equiv \mathbf {r} \left(r,\theta ,\phi \right)\equiv r(t)\mathbf {\hat {e}} _{r}(\theta (t),\phi (t))\\&\equiv \mathbf {r} \left(r,\theta ,z\right)\equiv r(t)\mathbf {\hat {e}} _{r}(\theta (t))+z(t)\mathbf {\hat {e}} _{z}\\&\,\!\cdots \\\end{aligned}}}$

ここで t は媒介変数である。

これらの異なる座標および対応する基底ベクトルは、同じ位置ベクトルを表す。より一般化した曲線座標（英語版）を代わりに使用することができ、連続体力学や一般相対性理論で使われる（後者の場合、追加の時間座標を必要とする）。

n 次元

線形代数では、n 次元の位置ベクトルの抽象化が可能である。位置ベクトルは、基底ベクトルの線形結合として表すことができる^[3][4]。

${\displaystyle \mathbf {r} =\sum _{i=1}^{n}x_{i}\mathbf {e} _{i}=x_{1}\mathbf {e} _{1}+x_{2}\mathbf {e} _{2}+\dotsb +x_{n}\mathbf {e} _{n}}$

全ての位置ベクトルの集合は、位置空間（要素が位置ベクトルであるベクトル空間）を形成する。空間内の別の位置ベクトルを得るために、位置を加算（ベクトル加算）し、長さを計測（スカラー乗算（英語版））することができる。それぞれの x_i (i = 1, 2, …, n) は任意の値であり、値の集合は空間内の点を定義するので、「空間」の概念は直感的である。

位置空間の次元は n である（dim(R) = n とも示される）。基底ベクトル e_i に対するベクトル r の座標は x_i である。座標のベクトルは、座標ベクトルまたは n-タプル (x₁, x₂, …, x_n)を形成する。

各座標 x_i は、媒介変数 t でパラメータ化することができる。1つのパラメータ x_i(t) は湾曲1次元経路を記述し、2つのパラメータ x_i(t₁, t₂) は湾曲2次元表面を表し、3つのパラメータ x_i(t₁, t₂, t₃) は3次元空間を表す。

基底集合 B = {e₁, e₂, …, e_n} の線型包は、span(B) = R と表される位置空間 R に等しい。

応用

微分幾何学

詳細は「微分幾何学」を参照

位置ベクトルフィールドは、連続した微分可能な空間曲線を記述するために使用される。この場合、独立パラメータは時間でなくても、曲線の円弧長などでもかまわない。

力学

詳細は「ニュートン力学」、「解析力学」、および「運動方程式」を参照

位置ベクトル r(t) は、ある時間 t における点粒子の位置を表す。