双曲空間
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/11/09 02:06 UTC 版)
δ を正の数とする。2点間の測地線が定められるような距離空間 X について、δ-双曲性の概念が以下のように定式化できる。Xの任意の3点a, b, cに対してこれらを頂点とし、それらの間の測地線A, B, Cを辺とするような三角形が考えられることになるが、そのどの一辺もほかの二辺の δ-近傍に含まれているとき、Xはδ-双曲的であるという。有限生成離散群 G のケイリーグラフがあるδについてδ-双曲的となる場合に G は双曲群と呼ばれる。
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双曲空間
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/11/14 03:18 UTC 版)
既に見たように、メビウス群 PSL(2,C) はミンコフスキー空間に原点、空間の向き、時間方向を全て保存する等距変換全体の成す群として作用する。また、この作用を正光錐における Q = 1 なる点の全体（これは三次元双曲空間 H3 のモデルを為す）に制限することにより、メビウス群を各元が H3 に向きを保つ等距変換として作用する群として捉えることができる（実際には、メビウス群と三次元双曲空間上の向きを保つ等距変換全体の成す群とは一致する）。 ポアンカレ球体模型を用いて、R3 における単位球体と H3 とを同一視するならば、リーマン球面を H3 の「共形的境界」として考えることができる。これにより、どのような H3 の向きを保つ等距変換からでもリーマン球面上のメビウス変換がえられ、逆にメビウス変換から向きを保つ等距変換もまた同様に得られる。このことは、物理学におけるAdS/CFT対応予想へ至るまさにその最初の所見である。
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双曲空間
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2020/07/22 03:44 UTC 版)
詳細は「ポアンカレの円板モデル」を参照 単位開円板上にポアンカレ計量と呼ばれる新しい計量を導入することにより、単位開円板は双曲平面の模型としてしばしば用いられる。既に述べた単位開円板と上半平面との間の等角写像を用いれば、この模型は双曲平面のポアンカレ上半平面模型に読み替えることができる。ポアンカレ円板とポアンカレ上半平面はともに双曲空間の「等角」模型（即ち、両模型における角度 (angle measure) は双曲空間におけるそれと一致する）であり、その結果それらの間の変換で小さな図形の「形」は保たれる（ただし「大きさ」は変わるかもしれない）。 単位円板上にはクライン模型（英語版）と呼ばれる双曲空間の別な模型も構築することができる。これは等角模型ではないが、この模型における直線が双曲空間における直線に対応するという性質を持つ。
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双曲空間
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/06/07 01:32 UTC 版)
円や球の概念は双曲空間（英語版）にも拡張可能だが、最密充填を探すのはユークリッド空間よりはるかに難しい。双曲空間では1つの球を取り囲む球の個数には制限がない（たとえば、フォードの円は、同等な双曲円がそれぞれ互いに無限個の円と接しているような配置と考えられる）し、平均密度の概念も正確に定義することすら難しい。いかなる双曲空間においても、最密充填はほぼ常に非正規充填である。 このような困難にもかかわらず、K. Böröczkyは n ≥ 2 である n 次元双曲空間における球充填の密度の普遍的な上界を得た。3次元において Böröczky の上界はおよそ85.327613%で、 シュレーフリ記号 {3,3,6} で表されるホロ球面充填（en:order-6 tetrahedral honeycomb）がこの値を取る。3次元双曲空間の密度の上界を与えるホロ球面（英語版）充填はこれ以外に少なくとも3つ知られている。[訳語疑問点]
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