その大きさ
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/06/15 03:57 UTC 版)
F(x) を実際に計算してみると、 F(1) = 2↑3 = 2→3→1 = 2→3 = 23 = 8 F(2) = 2↑↑3 = 2→3→2 = 2↑(2↑2) = 2↑4 = 16 F(3) = 2↑↑↑3 = 2→3→3 = 2↑↑(2↑↑2) = 2↑↑4 = 2222 = 2↑F(2) = 65536 F(4) = 2↑↑↑↑3 = 2→3→4 = 2↑↑↑(2↑↑↑2) = 2↑↑↑4 = 2↑↑2↑↑2↑↑2 = 2↑↑F(3) = 2↑↑65536 = 2 2 2 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ 2 2 2 ⏟ 65536 {\displaystyle =\underbrace {2^{2^{2^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot ^{2^{2^{2}}}}}}}}}}}}} _{65536}} F(5) = 2↑↑↑↑↑3 = 2→3→5 = 2↑↑↑↑2↑↑↑↑2 = 2↑↑↑↑4 = 2↑↑↑2↑↑↑2↑↑↑2 = 2↑↑↑F(4) = 2 ↑↑ 2 ↑↑ ⋯ ↑↑ 2 ↑↑ 2 ⏟ F ( 4 ) copies of 2 {\displaystyle =\underbrace {2\uparrow \uparrow 2\uparrow \uparrow \cdots \uparrow \uparrow 2\uparrow \uparrow 2} _{F(4){\text{ copies of }}2}} ： ： F(12) = 2↑123 = 2→3→12 = 2↑112↑112 = 2↑114 = 2↑102↑102↑102 = 2↑10F(11) = 2 ↑ 9 2 ↑ 9 ⋯ ↑ 9 2 ↑ 9 2 ⏟ F ( 11 ) copies of 2 {\displaystyle =\underbrace {2\uparrow ^{9}2\uparrow ^{9}\cdots \uparrow ^{9}2\uparrow ^{9}2} _{F(11){\text{ copies of }}2}} F2(12) = F(F(12)) = 2↑…(F(12) 本)…↑3 = 2→3→F(12) F3(12) = 2↑…(F2(12) 本)…↑3 = 2→3→F2(12) ： ： F7(12) = 2↑…(F6(12) 本)…↑3 = 2→3→F6(12) F(3) までは関数電卓やパソコンでも普通に計算できるが、F(4) ですら既に2の累乗を6万回以上繰り返した数であるため、現実世界の現象で例えることなど到底不可能な巨大数になっており、後述するように十進法以下の表記で表すことすら現実的には不可能であるが、9$Pickoverよりは遥かに小さい。F(5) はその十進以下の表記が現実的に不可能な F(4) − 1 の数だけ↑↑↑↑（四重矢印）を繰り返した数であるため、想像を絶する大きさとなっており、ましてやそれと同様の操作を繰り返したF(12)はなおさらである。 次の段階の F2(12) は2と3の間に F(12) 本矢印を置いたものであり、この時点で指数のみの表記も括弧を駆使しても事実上不可能となり、モーザー数 ( 2 [ 2 [ 5 ] ] = 2 [ 2 [ 4 ] [ 4 ] ] = 2 [ 2 [ 3 ] [ 3 ] [ 4 ] ] = 2 [ 2 [ 3 ] 258 ] = 2 [ 4 [ 4 ] [ 3 ] 253 ] {\displaystyle 2\left[2[5]\right]=2\left[2[4][4]\right]=2\left[2[3][3][4]\right]=2\left[2[3]_{258}\right]=2\left[4[4][3]_{253}\right]} )も超える。この操作を6回繰り返した数がリトル・グラハム数である。 この大きさをたとえる話として、「リトル・グラハム数を十進記数法を用いて印字しようとした場合（十分に印刷できる面積を持つ物体があるとして）、この全宇宙にある物質すべてをインクに変えても全く足りない」というものがある。しかし、その例えを使ったとしてもF(4)にすら満たず、F(4)の時点で、グラハム数の大きさを例えるのに使用した、Unicodeや宇宙論を用いた例えがそのまま適用され、log10F≒Fと見做せる。 チェーン表記を用いても F = F7(12) を簡潔に表すことはできないが、次の不等式が成立する。 3 → 2 → 8 → 2 < F < 3 → 2 → 9 → 2 {\displaystyle 3\rightarrow 2\rightarrow 8\rightarrow 2<F<3\rightarrow 2\rightarrow 9\rightarrow 2} 先述の通り、リトル・グラハム数自体は桁数を指数で表現することすら不可能なほど大きく、スーパーコンピュータでもF(4)の計算すら望めないが、末尾の数字を計算する方法は確立しており、ある程度の桁数は判明している。 2→3→F5(2→3→12) を十進法で表したときの末尾3桁は 736 である。
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その大きさ
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/08/04 13:50 UTC 版)
G(x) を実際に計算してみると、 G(1) = 3↑3 = 3→3→1 = 3→3 = 33 = 27 G(2) = 3↑↑3 = 3→3→2 = 3↑(3↑3) = 3↑G(1) = 3↑27 = 7625597484987 G(3) = 3↑↑↑3 = 3→3→3 = 3↑↑↑3 = 3↑↑(3↑↑3) = 3↑↑G(2) = 3↑↑7625597484987（トリトリ） = 3 3 3 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ 3 3 3 ⏟ 高 さ 7625597484987 = 3 3 3 3 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ 3 3 3 ⏟ 高 さ 7625597484986 ≈ exp 10 7 , 625 , 597 , 484 , 986 ( 1.09902 ) {\displaystyle =\underbrace {3^{3^{3^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot ^{3^{3^{3}}}}}}}}}}}}}}}} _{{\text{高 さ }}7625597484987}=3^{\underbrace {3^{3^{3^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot ^{3^{3^{3}}}}}}}}}}}}}}}} _{{\text{高 さ }}7625597484986}}\approx \exp _{10}^{7,625,597,484,986}(1.09902)} G(4) = 3↑↑↑↑3 = 3→3→4 =3↑↑↑↑3 = 3↑↑↑G(3)（グラハル） = 3 ↑↑ 3 ↑↑ ⋯ ↑↑ 3 ↑↑ 3 ⏟ G ( 3 ) copies of 3 {\displaystyle =\underbrace {3\uparrow \uparrow 3\uparrow \uparrow \cdots \uparrow \uparrow 3\uparrow \uparrow 3} _{G(3){\text{ copies of }}3}} G2(4) = G(G(4)) = 3↑…(G(4) 本)…↑3 = 3→3→G(4) = 3↑G(4)-13↑G(4)-2…↑33↑23↑3↑3 G3(4) = G(G2(4)) = 3↑…(G2(4) 本)…↑3 = 3→3→G2(4) ： ： G64(4) = G(G63(4)) = 3↑…(G63(4) 本)…↑3 = 3→3→G63(4) = hyper(3, G63(4)+2, 3) = 3↑…((G63(4)+1) 本)…↑2 = 3→2→(G63(4)+1) = hyper(3, G63(4)+3, 2) = hyper(3, G62(G(4))+2, 3) = hyper(3, G62(3→2→5)+2, 3) = 3↑G63(4)-13↑G63(4)-2…↑33↑23↑3↑3 G(2) までは関数電卓やパソコンでも普通に計算できるが、G(3) ですら既に3の累乗を7兆6,255億回以上繰り返した数であるため、現実世界の現象で例えることなど到底不可能な巨大数になっており、後述するように十進法以下の表記で表すことすら現実的には不可能であるが、16$Pickoverの方が遥かに大きい（しかし3↑↑↑4よりは遥かに小さい）。G(4) はその十進以下の表記が現実的に不可能な G(3) − 1 の数だけ ↑↑（二重矢印）を繰り返した数であるため、想像を絶する大きさとなっている。 次の段階の G2(4) は3と3の間に G(4) 本矢印を置いたものであり、この時点で指数のみの表記も括弧を駆使しても事実上不可能となり、モーザー数 ( 2 [ 2 [ 5 ] ] = 2 [ 2 [ 4 ] [ 4 ] ] = 2 [ 2 [ 3 ] [ 3 ] [ 4 ] ] = 2 [ 2 [ 3 ] 258 ] = 2 [ 4 [ 4 ] [ 3 ] 253 ] {\displaystyle 2\left[2[5]\right]=2\left[2[4][4]\right]=2\left[2[3][3][4]\right]=2\left[2[3]_{258}\right]=2\left[4[4][3]_{253}\right]} )も超える。この操作を63回繰り返した数がグラハム数である。 この大きさをたとえる話として、「グラハム数を十進記数法を用いて印字しようとした場合（十分に印刷できる面積を持つ物体があるとして）、この全宇宙にある物質すべてをインクに変えても全く足りない」というものがある。しかし、その例えを使ったとしてもG(3)にすら満たない。 観測可能な宇宙の素粒子の総数は 1080 と考えられているので、このたとえで表せる数は、素粒子1個で1文字を印刷するとしても n 進表記ならせいぜい n1080 に過ぎない。この数は1 < | n | ≤ 16 のときグラハム数や16$Pickoverどころか G(3) と比較しても圧倒的に小さい（G(3) の遥か手前、 3 3 3 3 3 {\displaystyle 3^{3^{3^{3^{3}}}}} が既におよそ 10 10 3.6 × 10 12 {\displaystyle {10}^{{10}^{3.6\times {10}^{12}}}} である）。16進表記ではアルファベットの大文字と小文字を区別しないが、Unicodeでは区別されている。現在Unicodeで使用されている文字の総数は13万7468個であり、未使用領域が全て埋め尽くされると n = 1114112となるが、 n が1億まで拡張されたとしても108×1080 であり、グーゴルプレックス 10 10 100 {\displaystyle {10}^{{10}^{100}}} にも満たない。 これほど極端な例えですら言い表すことができないほど巨大な数がグラハム数である。宇宙論で使われた最大の数（複数の宇宙の全質量を1個のブラックホールに圧縮しそれが蒸発した後に、ポアンカレの回帰定理に従い再びブラックホールができる時間）をaとすると、aですら 10 10 10 10 10 1.1 ≈ 10 10 10 3883775501690 ≈ 10 10 10 10 3 2.3 ≈ 10 10 3 3 3 3 ≈ 3 ↑ 2 6 ∈ [ ( 3 ↑ ) 5 2.89997 , ( 3 ↑ ) 6 1.03112 ] {\displaystyle {10}^{{10}^{{10}^{{10}^{{10}^{1.1}}}}}\approx {10}^{{10}^{{10}^{3883775501690}}}\approx {10}^{{10}^{{10}^{{10}^{{3}^{2.3}}}}}\approx {10}^{{10}^{{3}^{{3}^{{3}^{3}}}}}\approx 3\uparrow ^{2}6\in \left[\left(3\uparrow \right)^{5}2.89997,\left(3\uparrow \right)^{6}1.03112\right]} であり、これもグラハム数はおろかG(3) ともとても比較にならない。 レオナルド・サスキンドは宇宙の直径を 10 10 10 122 {\displaystyle 10^{10^{10^{122}}}} と推定しているが、この値をbとすると、bもaと同様に桁数が大きすぎて単位が考慮されていない。しかし、1辺がbヨタパーセクの立方体に1辺が1プランク長の立方体が隙間なく詰め込まれ、それらの立方体がa千年紀に渡って1プランク時間ごとに1種類の文字を生成し、作業完了時点で完全に重複する文字が1種類も存在しない場合ですら、生成された文字をc種類とし、c-1を表現する文字をc個並べた数をdとした場合、dはグラハム数はおろかG(3) ともとても比較にならない。 なお、強いて「グラハム数を十進法で表した時の桁数」を考えるなら、log10Gとなるが、Gは十分な巨大数なので、この場合にあってはlog10という関数で厳密には元の数より小さくなるものの、巨大数としては無視できるレベルでしかなく、近似に吸収されてしまう。すなわち、log10G≒Gである。 近年は巨大数の研究・開発がより進み、現在ではグラハム数を遥かに上回る数も多数登場していて、例えばコンウェイのチェーン表記を用いて" 3 → 3 → 3 → 3 {\displaystyle 3\rightarrow 3\rightarrow 3\rightarrow 3} "（コンウェイのテトラトリと呼ばれる数）などと書くだけでグラハム数よりも大きな数を表現可能である。 チェーン表記を用いても G = 3→2→(G63(4) + 1) を簡潔に表すことはできないが、次の不等式が成立する。 3 → 3 → 64 → 2 < G < 3 → 3 → 65 → 2 {\displaystyle 3\rightarrow 3\rightarrow 64\rightarrow 2<G<3\rightarrow 3\rightarrow 65\rightarrow 2} 先述の通り、グラハム数自体は桁数を指数で表現することすら不可能なほど大きく、スーパーコンピュータでもG(3)の計算すら望めないが、末尾の数字を計算する方法は確立しており、ある程度の桁数は判明している。 3→2→(G63(4) + 1) を十進法で表したときの末尾10桁は 2,464,195,387 であり、暗黒通信団が末尾100万桁を記した書籍も出版し、その後、暗黒通信団のウェブサイトで末尾1,600万桁を記したPDF形式のファイルも公開している。
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