方向微分 微分幾何学における方向微分

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方向微分

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2023/11/08 07:13 UTC 版)

微分幾何学における方向微分

M を微分可能多様体とし、p を M 内のある点とする。f を、点 pのある近傍において定義され、p において微分可能なある関数とする。 v を点 p における M への接ベクトルとするとき、f の v に沿った方向微分は、∇_v f(p)（共変微分を参照）や L_v f(p)（リー微分を参照）、あるいは v_p(f)（接ベクトル空間を参照）など様々な方法で表記され、その定義は次のようになる。γ: [-1,1] → M を、γ(0) = p および γ′(0) = v を満たすような微分可能な曲線とする。このとき、方向微分は

$\nabla _{v}f(p)=\left.{\frac {d}{d\tau }}(f\circ \gamma )(\tau )\right|_{\tau =0}$

と定義される。この定義は、γ′(0) = v を満たすようなものとして γ が選ばれている限り、γ の選び方によらない。