四次方程式 概要

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四次方程式

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2023/09/27 14:32 UTC 版)

概要

一変数の四次方程式は

a₄ x⁴ + a₃ x³ + a₂ x² + a₁ x + a₀ = 0 (a₄ ≠ 0)

の形で表現される。a₄ で割り

x⁴ + A₃ x³ + A₂ x² + A₁ x + A ₀ = 0 ($A_{n}={\frac {a_{n}}{a_{4}}}$)

の形にしても解は変わらないのでこの形で論じられることが多い。

一般的な四次方程式の解法は、ジェロラモ・カルダーノの弟子であるルドヴィコ・フェラーリによって発見され、カルダノの著書『アルス・マグナ』で概要が述べられた。カルダノは x, x², x³ をそれぞれ、線分の長さ、一辺の長さが x の正方形の面積、一辺の長さが x の立方体の体積と対応させてとらえ、4次以上の方程式には意味がないと考えていたため、三次方程式と違って詳細には述べられていない。

しかし、カルダノの死後、ルネ・デカルトは著書『方法序説』の試論の一つである『幾何学』において定規とコンパスによる作図を論じ、長さ x の線分、長さ y の線分、長さ 1 の線分から長さ x y の線分が得られることを示している。これによると、長さ x の線分と長さ 1 の線分から長さ xⁿ（n は任意の自然数）の線分の作図が可能であることが分かるため 4 次以上の方程式を解くことにも幾何学的な意味を与えることは可能であり、カルダノの捉え方は不十分であったことが分かる。

その後、四次方程式は三次方程式と同様に様々な解法が発見され、五次方程式の代数的解法の探索と合わせて詳細な研究が進められた。