四次方程式 フェラーリの解法

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四次方程式

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2023/09/27 14:32 UTC 版)

フェラーリの解法

フェラーリの解法は、一般的な四次方程式の解法のうちで最初に与えられた解法である。四次方程式

a₄ x⁴ + a₃ x³ + a₂ x² + a₁ x + a₀ = 0 (a₄ ≠ 0)

を a₄ で割り

x⁴ + A₃ x³ + A₂ x² + A₁ x + A₀ = 0

の形にする。($A_{n}={\frac {a_{n}}{a_{4}}}$)

$B_{3}:={\frac {A_{3}}{4}}$

とし

x = y − B₃

によって変数変換を行うと

y⁴ + (A₂ − 6 B₃²) y² + (A₁ − 2 A₂ B₃ + 8 B₃³) y + (A₀ − A₁ B₃ + A₂ B₃² − 3 B₃⁴) = 0

となり、3次の項が消えた方程式が得られる。見やすいように

y⁴ + p y² + q y + r = 0

と書く。q = 0 の時は、複二次式として解けばよいので、以後は q ≠ 0 とする。

媒介変数 u ≠ 0 を用い

$\left(y^{2}+{\frac {p+u}{2}}\right)^{2}-u\left(y-{\frac {q}{2u}}\right)^{2}=0$

と変形する。ここで上式を展開し係数を比較すると、u の三次方程式

u (p + u)² − 4 r u = q²

が得られる。このような補助的な方程式を、与えられた四次方程式に関する三次分解方程式(resolvent cubic equation) という。q ≠ 0 なので、この分解方程式の解は u ≠ 0 を満たしており、この解の一つを u として取る。また、求める四次方程式は

$\left\{\left(y^{2}+{\frac {p+u}{2}}\right)+{\sqrt {u}}\left(y-{\frac {q}{2u}}\right)\right\}\left\{\left(y^{2}+{\frac {p+u}{2}}\right)-{\sqrt {u}}\left(y-{\frac {q}{2u}}\right)\right\}=0$

となり、この2つの二次方程式から、四次方程式の解を求めることができる。