四次方程式 解の様子

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四次方程式

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2023/09/27 14:32 UTC 版)

解の様子

四次方程式は、代数学の基本定理より、高々4個の複素数解を持つ。

四次方程式 ax⁴ + bx³ + cx² + dx + e = 0 の判別式は

${\begin{aligned}\Delta =\;&256a^{3}e^{3}-192a^{2}bde^{2}-128a^{2}c^{2}e^{2}+144a^{2}cd^{2}e-27a^{2}d^{4}\\&\ +144ab^{2}ce^{2}-6ab^{2}d^{2}e-80abc^{2}de+18abcd^{3}+16ac^{4}e\\&\ -4ac^{3}d^{2}-27b^{4}e^{2}+18b^{3}cde-4b^{3}d^{3}-4b^{2}c^{3}e+b^{2}c^{2}d^{2}\end{aligned}}$

によって与えられ、係数によって定まる以下の4個の定数によってさらに詳細な情報が得られる。

${\begin{aligned}P&=8ac-3b^{2}\\R&=b^{3}+8a^{2}d-4abc\\\Delta _{0}&=c^{2}-3bd+12ae\\D&=64a^{3}e-16a^{2}c^{2}+16ab^{2}c-16a^{2}bd-3b^{4}\end{aligned}}$

Δ, P, R, Δ₀, D に関して、以下の事実が成立する。

1. Δ < 0 のとき、異なる2個の実数解と1組の共役複素数解を持つ。
2. Δ > 0 のとき、
   1. P < 0 かつ D < 0 ならば、相異なる4個の実数解を持つ。
   2. P > 0 または D > 0 ならば、2組の共役複素数解を持つ。
3. Δ = 0 のときにのみ、方程式は重解を持ち、
   1. P < 0 かつ D < 0 かつ Δ₀ ≠ 0 ならば、1個の実数二重解と、異なる2個の重複度 1 の実数解を持つ。
   2. D > 0 または（P < 0 かつ（D, R のどちらかが0でない））ならば、1個の実数二重解と、1組の共役複素数解を持つ。
   3. Δ₀ = 0 かつ D ≠ 0ならば、1個の実数三重解と、1個の重複度 1 の実数解を持つ。
   4. D = 0 のとき、
      1. P < 0 ならば、異なる 2個の実数二重解を持つ。
      2. P < 0 かつ R = 0 ならば、1組の共役複素数である、異なる 2個の虚数二重解を持つ。
      3. Δ₀ = 0 ならば、−b/4a を実数四重解として持つ。

以上には、例えば Δ > 0 かつ P·D < 0 である場合などが記されていない。しかし、このような組み合わせは実際には存在しない。