フーリエ変換 定義

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フーリエ変換

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2024/01/22 10:25 UTC 版)

定義

絶対可積分関数に対する定義

絶対可積分関数 f: R → C のフーリエ変換の定義として、よく用いられるものにもいくつか異なる流儀がある。本項では

${\hat {f}}(\xi ):=\int _{-\infty }^{\infty }f(x)e^{-2\pi ix\xi }\,dx$

を定義として用いる。ここでギリシャ文字小文字の ξ は任意の実数である。（他の流儀による定義については後述 → #その他の定義）

対象の関数における独立変数が物理量の場合、フーリエ変換は独立変数の次元をもとの逆数に移す。例えば、変換前の関数における独立変数 x が時間の次元をもつとき、変換後の独立変数 ξ は周波数の次元を持つ。あるいは、変換前の独立変数 x が長さの次元をもつとき、変換後の独立変数 ξ は波数の次元を持つ。この性質は定義より x ξ が無次元量であることから従う。

適当な条件のもと、f はその変換 ˆf からフーリエ逆変換 (inverse transform)

$f(x):=\int _{-\infty }^{\infty }{\hat {f}}(\xi )e^{2\pi ix\xi }\,d\xi$

によって復元することができる（x は任意の実数）。

超関数としての定義

上記の絶対可積分関数の定義では、次のような関数は$\int _{-\infty }^{\infty }|f(x)|dx=\infty$のため絶対可積分ではなく、フーリエ変換が定義できない。

・$f(x)=c$（$c$はゼロ以外の定数）

・$f(x)=x^{n}$（$n$は自然数）

・周期関数（$f(x)=0$を除く）

このように、周期関数のようなフーリエ級数展開が可能な関数が、絶対可積分関数の意味でフーリエ変換できないことは非常に不便であり、またフーリエ変換の理解を難しくしている。

そこで、フーリエ変換の定義を超関数に拡張することが行われる。

超関数とは、急減少関数（シュワルツ空間の元である関数）の列$\{f_{n}(x)\}_{n=1}^{\infty }$であって、任意の急減少関数$\phi (x)$について$\lim _{n\to \infty }\int _{-\infty }^{\infty }f_{n}(x)\phi (x)dx$が存在するものを言い、 ２つの急減少関数の列$\{f_{n}(x)\}_{n=1}^{\infty }$、$\{g_{n}(x)\}_{n=1}^{\infty }$が、任意の急減少関数$\phi (x)$について$\lim _{n\to \infty }\int _{-\infty }^{\infty }f_{n}(x)\phi (x)dx=\lim _{n\to \infty }\int _{-\infty }^{\infty }g_{n}(x)\phi (x)dx$が成り立つとき、$\{f_{n}(x)\}$と$\{g_{n}(x)\}$は同一の超関数を表すものとする。

イメージとしては、超関数は関数列の極限であるが、関数列自体が超関数であり、$\lim _{n\to \infty }f_{n}(x)$が収束値を持つ必要はない。

急減少関数は絶対可積分関数であるため、絶対可積分関数としてのフーリエ変換が定義されるが、急減少関数のフーリエ変換は急減少関数になるという性質がある。この性質を利用し、次のように超関数のフーリエ変換が定義される。

定義: 急減少関数の列である超関数$\{f_{n}(x)\}_{n=1}^{\infty }$のフーリエ変換は、急減少関数の列$\{\int _{-\infty }^{\infty }f_{n}(x)e^{-2\pi ix\xi }dx\}_{n=1}^{\infty }$からなる超関数と定義される。

・$f(x)=c$（$c$はゼロ以外の定数）については、急減少関数の列である超関数$\{c\exp(-x^{2}/n)\}$を考え（$\lim _{n\to \infty }c\exp(-x^{2}/n)=c$のため、任意の急減少関数$\phi (x)$について$\lim _{n\to \infty }\int _{-\infty }^{\infty }c\exp(-x^{2}/n)\phi (x)dx=\int _{-\infty }^{\infty }c\phi (x)dx$となり広い意味で同一視可能）、そのフーリエ変換は急減少関数の列である超関数$\{\int _{-\infty }^{\infty }c\exp(-x^{2}/n-2\pi ix\xi )dx\}=\{c\exp(-n\pi ^{2}\xi ^{2})\int _{-\infty }^{\infty }\exp(-(x+n\pi i\xi )^{2}/n)dx\}=\{c{\sqrt {n\pi }}\exp(-n\pi ^{2}\xi ^{2})\}$となる。

ここで、$\xi \neq 0$のときは$\lim _{n\to \infty }{\sqrt {n\pi }}\exp(-n\pi ^{2}\xi ^{2})=0$、$\xi =0$のときは$\lim _{n\to \infty }{\sqrt {n\pi }}\exp(-n\pi ^{2}\xi ^{2})=\infty$であり、$\int _{-\infty }^{\infty }{\sqrt {n\pi }}\exp(-n\pi ^{2}\xi ^{2})d\xi =1$である。これはデルタ関数と言われ、$f(x)=c$のフーリエ変換は、$c\delta (\xi )$となる。