ノルム線型空間 定義

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ノルム線型空間

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2023/04/23 05:08 UTC 版)

定義

ノルム体 K 上のノルム線型空間とは、K-線型空間 V と V 上のノルム ‖ • ‖ の組 (V, ‖ • ‖) を言う。ノルムは以下の性質

1. 半正値性: $\|x\|\geq 0\ (\forall x\in V),\quad \|x\|=0\iff x=0$
2. 斉次性: $\|\alpha x\|=|\alpha |\|x\|\quad (\forall x\in V,\alpha \in K)$
3. 劣加法性（三角不等式）: $\|x+y\|\leq \|x\|+\|y\|\quad (\forall x,y\in V)$

を満たす実数値函数 ‖ • ‖: V → R であった。またこの三条件を、最初の条件のうち ‖ x ‖ = 0 ⇒ x = 0 を除いてすべて満足するものは半ノルムと呼ばれ、V と半ノルム p との組 (V, p) は同様に半ノルム空間と呼ばれる（半ノルム空間についての詳細は半ノルムおよび局所凸空間も参照のこと）。

文脈上、どの（半）ノルムを考えているか明らかで紛れのおそれの無い場合には、‖ • ‖ や p を落として、単に（半）ノルム空間 V のように書く。

三角不等式に関して、以下のような変形版

逆向きの三角不等式: $\|x-y\|\geq {\bigl |}\,\|x\|-\|y\|\,{\bigr |}$

も有用である。これはベクトルのノルムが連続写像であることも示している。

注意すべきは、条件 2. は係数体上の「ノルム」の取り方に依存することである。係数体が実数体 R（やより一般に複素数体 C の部分体）であるときには、普通は通常の絶対値をとるが、ほかの選択も可能である。例えば Q-線型空間上で |•| を p-進ノルムとすることができ、異なるノルム空間のクラス（p-進ノルム空間）が生じる。