ベルヌーイ分布
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2024/08/06 04:49 UTC 版)
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ベルヌーイ分布
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/09/16 01:21 UTC 版)
X 1 , … , X n {\displaystyle X_{1},\dots ,X_{n}} をベルヌーイ分布に従う独立な確率変数、その期待値を p {\displaystyle p} とすると、和 T ( X ) = X 1 + ⋯ + X n {\displaystyle T(X)=X_{1}+\dots +X_{n}} が、 p {\displaystyle p} に対する十分統計量となる（ここで「成功」は X i = 1 {\displaystyle X_{i}=1} に、「失敗」は X i = 0 {\displaystyle X_{i}=0} に当たる。従って T {\displaystyle T} は総成功回数である）。 これは次の同時確率分布をみればわかる： Pr ( X = x ) = P ( X 1 = x 1 , X 2 = x 2 , … , X n = x n ) {\displaystyle \Pr(X=x)=P(X_{1}=x_{1},X_{2}=x_{2},\ldots ,X_{n}=x_{n})} 各観察は独立だから、次のように書き換えられる： p x 1 ( 1 − p ) 1 − x 1 p x 2 ( 1 − p ) 1 − x 2 ⋯ p x n ( 1 − p ) 1 − x n {\displaystyle p^{x_{1}}(1-p)^{1-x_{1}}p^{x_{2}}(1-p)^{1-x_{2}}\cdots p^{x_{n}}(1-p)^{1-x_{n}}\,\!} そしてp と 1 − p の累乗を集めて、 p ∑ x i ( 1 − p ) n − ∑ x i = p T ( x ) ( 1 − p ) n − T ( x ) {\displaystyle p^{\sum x_{i}}(1-p)^{n-\sum x_{i}}=p^{T(x)}(1-p)^{n-T(x)}\,\!} これは因子分解基準に合致し、h(x)=1 となる。 特に注目すべきは、不明の母数p が、統計量 T(x) = Σ xi を通じてのみ、観察値 x に関係することである。
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