ベルヌーイ分布に従うモデル
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/06/12 08:48 UTC 版)
「一般化線形モデル」の記事における「ベルヌーイ分布に従うモデル」の解説
p = e θ / ( 1 + e θ ) {\displaystyle p=e^{\theta }/(1+e^{\theta })} を用いて a ( θ ) = − log ( 1 − p ) {\displaystyle a(\theta )=-\log {(1-p)}} , ϕ = 1 {\displaystyle \phi =1} , c = 0 {\displaystyle c=0} と表されるとき、 f ( y ; θ ) = p y ( 1 − p ) 1 − y {\displaystyle f(y;\theta )=p^{y}(1-p)^{1-y}} は生起確率 p {\displaystyle p} のベルヌーイ分布に相当する。 リンク関数として g ( θ ) = θ {\displaystyle g(\theta )=\theta } を取るとき、これはロジスティック回帰モデル (logistic regression model) に相当する。 Y = 1 , 0 {\displaystyle Y=1,0} の確率は、それぞれ、 P ( Y = 1 ∣ x ) = exp ( x T β ) 1 + exp ( x T β ) {\displaystyle P(Y=1\mid \mathbf {x} )={\frac {\exp {(\mathbf {x} ^{T}\,{\boldsymbol {\beta }})}}{1+\exp {(\mathbf {x} ^{T}\,{\boldsymbol {\beta }})}}}} P ( Y = 0 ∣ x ) = 1 1 + exp ( x T β ) {\displaystyle P(Y=0\mid \mathbf {x} )={\frac {1}{1+\exp {(\mathbf {x} ^{T}\,{\boldsymbol {\beta }})}}}} で与えられる。 リンク関数として g ( θ ) = ψ − 1 ( p ) {\displaystyle g(\theta )=\psi ^{-1}(p)} (ただし、 ψ {\displaystyle \psi } は標準正規分布の累積分布関数) を取るとき、これはプロビット回帰モデルに相当する。 p = ψ ( x T β ) {\displaystyle p=\psi (\mathbf {x} ^{T}\,{\boldsymbol {\beta }})} となる。 パラメーターの決定には、ニュートン法を用いた最尤法などがある。
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